論文關鍵詞: 習題 極值
論文摘要:本文根據學生的實際情況以及本人的教學實踐,針對普通物理教學中困擾學生的極值問題,利用、物理的概念、公式等,嘗試對物理極值問題的求解規律進行歸納與探析。
在普通物理習題中有一些是關於求極值問題。有的是求極小值,有的是求極大值,學生對此並沒有足夠的預備知識,遇到這類題目往往感到無從下手,不知如何解,故而在解題過程中錯誤層出不窮,本文試從幾個方面對物理習題中的極值問題加以說明。
一、從物理概念、公式出發求極值
例1:一車技演員騎摩托車駛進一半徑爲R,路面傾角爲 的圓錐形峭壁上做圓周運動,車輪與路面間靜摩擦係數爲μ。求飛車在此圓軌道上不致滑動的速率V的取值範圍。
解:物體受力:支援力N;重力G;最大靜摩擦力fm;建立座標,假定fm沿斜面向上,如圖(a)所示:
y軸方向沒有運動 (1)
x軸方向做勻速圓周運動
式(2)中的向心力爲最小,因而V最小應表示爲Vmin
最大靜摩擦力
假定最大靜摩擦力fm沿斜面向下,如圖(b)所示:
y軸方向
x軸方向 合外力充當向心力 式(4)中的向心力爲最大,因而V最大應表示爲Vmax
從(3)(4)兩式可解得:
最後,飛車在此圓軌道上不致滑動的速率V的取值範圍爲:Vmin≤V≤Vmax
此題利用向心力公式
fm沿斜面向上 向心力F最小因而V最小;
fm沿斜面向下 向心力F最大因而V最大;
故而求得V的取值範圍。
例2:如圖(c)所示,滑道AC的後部是一個半徑爲R的圓環,質量爲m的滑塊在高度爲h的位置從靜止出發,沿AC滑下,求滑塊透過圓環頂部時不致脫落的h的最小值。
解:把滑塊和地球看作一個系統,沒有外力作功,內力中的`重力爲保守力,摩擦力被忽略,滑道和圓環對滑塊的作用力均與運動方向垂直,它們不作功,能守恆條件得到滿足,以地球作參考系,取滑塊透過的最低位置作爲重力勢能的零點,設h爲使滑塊在圓環頂端不脫落的最小高度,比較滑塊在圓環頂部和出發點的機械能有:
V0爲滑塊在圓環頂部的速度,滑塊在圓環頂部所受的向心力爲mg+N
RN爲圓環頂部對滑塊的壓力,在一般情況下N≥0
對於滑塊剛好能透過頂點的情況,取N =0,由式(2)得到mv02= mgR代入式(1),可得
二、利用數學求導一階導數爲零求極值
例3:風對帆所施的力爲其中a是係數,s爲帆的面積,V0爲風速,V爲船的航速,試求風的功率最大時船的航速?
解:風力對帆作功的功率: 功率對航速V的極值條件是:
風與帆沒有相對速度,風力F=0,顯然, 功率爲極小值。由於
此題利用了數學求導求極值問題,一階導數爲零,有極值;二階導數大於零,有極小值;二階導數小於零,有極大值。
三、利用矢量三角形解物理極值
例4:如圖(d)所示,質量爲m的小球用細線懸掛在O點,並置於傾角爲a的光滑斜面上,細線與豎直方向的夾角爲 >a,試分析:在斜面緩慢右移, 逐漸減至0°的過程中,小球受到線的拉力和斜面支援力如何變化?它們的極值各是多少?
分析與解:在 逐漸減少的過程中,小球在三個共點力的作用下始終處於平衡狀態,重力mg爲豎直向下的恆力,支援力N大小變化而方向始終垂直斜面,而拉力T的大小和方向都在變化。從三力構成的矢量三角形如圖(e)可以看出:拉力T先減小後增大,當T與N垂直,即 +α=90°。T與斜面平行時,拉力最小爲Tmin= mgsinα。而支援力N不斷減小,當 =0°時,N減爲零,即Nmin=0
四、利用三角函數解物理極值
例5:質量爲m的物體放在地面上,它們間的滑動摩擦係數爲μ,用力F拉物體,使物體在水平面上作勻速直線運動,力與水平方向的夾角α爲多大時最省力。
分析:由於物體在水平面上做勻速直線運動,隨着α角的不同,物體與水平面間的彈力不同,因而滑動摩擦力也不一樣,而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等,因而α角不同,拉力F也不一樣。
解:以物體爲研究對象,受力分析如右圖(f)所示。因爲物體處於平衡狀態,根據