三力平衡問題中極值的求解方法

三力平衡問題中極值的求解方法

三力平衡是最常見的類型，在這種類型中的時涉及由於其中一個力方向的緩慢變化引起兩力的大小改變，這種情況稱爲動態平衡，且往往存在極值問題，下面透過一例談談此類問題極值的求解方法。
 題目：如圖所示，在繩下端掛一質量爲m的物體，用力F拉繩使懸繩偏離豎直方向α角，且方向，當拉力F與水平方向的夾角θ多大時F有最小值？最小值是多少？
 解法一、常規解析法：以結點O爲研究對象，畫出受力圖，建立座標軸，如圖所示：根據平衡條件有：
 Fcosθ－Tsinα＝0　　　　　　　　　
 Fsinθ＋Tcosα－mg＝0　　　　　　　
 由兩式消去Ｔ可得
 F＝mgsinα/cos (α－θ)
 所以當（α－θ）=0，即θ＝α時Ｆ有最小值，且
 Fmin＝ mgsinα。
 此法是求解共點力平衡問題的普遍適用的基本方法，難點在於力的.分解和求解方程組。用於求極值，要求有較好的運用數學知識解決物理問題的能力。
 解法二、巧妙建軸解析法：以結點O爲研究對象，畫出受力圖，建立座標軸，如圖所示。根據幾何條件可得，力F與軸之間的夾角爲（α－θ）。
 根據x軸方向的平衡條件有：
 Fcos（α－θ）－mgsinα=0
 F＝mgsinα/cos (α－θ)
 因此，當（α－θ）＝0，θ＝α，即拉力Ｆ與水平方向的夾角等於α角時拉力F有最小值，且Fmin＝ mgsinα。
 此法座標軸建立巧妙，繩的拉力T不出現在x軸方向的平衡方程中，便於討論，只需根據這一個方程即可求出結果。難點在於根據幾何條件尋找相關的角度，此法運用的數學知識較簡單，不失爲求解此類極值的巧妙方法.
 解法三、矢量分解法：以結點O爲研究對象，畫出受力圖。將已知的重力mg沿另兩個力的反方向進行分解，如圖所示。因結點O處於平衡狀態，則力F必與其方向的重力的分力等值，即F=G1。由幾何關係可知，在ΔOAB中，根據正弦定理有：
 G1／sinα＝mg／sin[90°－（α－θ）]
 F＝G1＝mgsinα／sin[90°－（α－θ）]
 欲使最小，必有α－θ=0，即θ＝α，拉力F與水平方向的夾角等於α角，且此時有Fmin= mgsinα。
 在能夠確定三個力之間的夾角和一個已知力時，用該方法求解較爲簡捷。用於求極值，數學運算和討論也較簡單，難點仍在於根據幾何條件確定相關的角度。
 解法四、矢量圖解法：結點Ｏ受三個力作用而平衡，將三個力首尾相接應構成封閉的矢量三角形。因重力mg的大小和方向都不變，拉力T的方向不變，隨着力F方向的緩慢變化，可作出多種情況下的矢量三角形，如圖所示。由圖可知，當F與T垂直，根據直角三角形的知識可得Fmin＝ mgsinα。
 圖解法形象直觀，易於理解，且可顯示出變力的動態變化過程。極值出現的條件明顯，不失爲此類極值問題求解的最佳方法。
 解法五、力矩平衡法：以偏離豎直方向的懸繩爲研究對象，懸繩本身的重力不計，其受力情況如圖。以繩的懸點O′爲轉動軸，則繩拉力T的力矩爲零，根據力矩平衡條件可得：
 MG＝MF
 因α角保持不變，則MG恆定。從而有力F的方向變化時，對懸點O′的力矩MF恆定。俗使力F最小，則需對懸點O′的力臂最大，故力F的方向必須與繩子垂直，即力F與水平方向的夾角θ＝α，設繩長爲Ｌ，則：
 mgLsinα＝FminL
 Fmin＝mgsinα。
 用力矩平衡法求此類問題的極值，思路明確、極值出現的條件明顯、運算簡便，既強化了有關概念，又培養了能力。該法也是一種較好的方法，難點在於轉軸和力臂的準確確定。