在學習時，學習者要學會使用一些策略去評估自己的理解，預計學習時間，選擇有效的計劃來學習或解決問題。
元認知策略大致可分三種：
①計劃策略
②監控策略
③調節策略
透過幾個案例分析，來說明教師應如何幫助學生提高他們的數學元認知意識。
一、關於元認知理論的回顧
（一）元認知理論
元認知是20世紀70年代心理學中新興起的研究內容。在學習的資訊加工系統中，存在着一個對資訊流動的執行控制過程，它監視和指導認知活動的進行，它負責評估學習中的回顧，確定用什麼學習策略來解決問題，評價所選策略的效果，並且改變策略以提高學習效果。執行控制功能的基礎是元認知。
1、元認知結構。1976年，美國心理學家弗拉維爾（Flavell）在其著作《認知發展》一書中明確提出了元認知概念。根據弗拉維爾的觀點，元認知就是認知的認知，具體地說，是關於個人自己認知過程的知識和調節這些過程的能力，對思維和學習活動的知識和控制[1]。元認知具有兩方面的成分：①對認知過程的知識和觀念（存儲在長時記憶中），即元認知知識——知道做什麼。②對認知行爲的調節和控制（存儲在工作記憶中），即元認知監控——知道何時、如何做什麼。
後來，我國北師大發展心理研究所的專家們（董奇、陳英和等）透過以元認知的大量研究，提出元認知過程實際上就是指導、調節我們的認知過程，選擇有效認知策略的控制執行過程。其實質是人對認知活動的自我意識和自我控制。
2、元認知策略。學習時，學習者要學會使用一些策略去評估自己的理解，預計學習時間，選擇有效的計劃來學習或解決問題。元認知策略大致可分三種：①計劃策略；②監控策略；③調節策略。
（二）數學元認知策略及作用。
透過大量教學實踐表明，元認知在數學學習活動中存在並起着重要作用。
許多學者移植和借鑑一般元認知的研究成果，在數學學科中的應用，形成了數學元認知理論。如側重定性研究的元認知在數學活動中的具體表現；元認知在數學教育改革的作用（《數學教育學報》1995.4）；元認知開發與數學問題解決（《教育研究》1996、1）；問題解決中的元認知策略訓練（《數學通報》2002、9）；以及對數學元認知的性質和培養方面的定性研究。數學元認知策略是應用於整個數學學習過程的“導航器”，在這種策略的指導下，即使學習中思維受阻，也會及時校正思維方向，調整思維路徑，形成合理的數學認知結構。大量研究結果表明，數學學習能力強的學生，其數學學習的元認知方面的發展水平都比較高，即他們對自己的數學學習過程與特點有較清醒的認識，具有較多的有關數學學習策略方面的知識，並善於靈活地應用各種策略，監控自己的數學學習。數學學習能力差的學生則與其相反。因此，在具備一定數學基礎知識、基本技能的基礎上，數學學習元認知，特別是策略應用方面的知識已經成爲數學能力的關鍵。
幾年來，我們對數學學習策略進行了一些研究。在實踐中對數學元認知策略與數學學習活動關係進行了一些探索，下面以案例分析的方式闡述我們的一些不成熟的觀點。
二、學生數學元認知策略和元認知水平的培養
數學元認知水平的提高與學生數學學習策略的掌握是密切聯繫。我們從提高數學元認知水平，提高元認知計劃、監控、調節能力，增強學生數學學習活動中的情感體驗等方面的探索與實踐出發，給出幾個案例分析，來說明教師應如何幫助學生提高他們的數學元認知意識。
〖案例1〗對數學學習活動的計劃策略的案例
2002年12月25日，三年級《角和直角》的'課堂實錄
今天，我們大家一起來研究角和直角。出示課題《角和直角》。
陳老師提問：你們想研究角的哪些知識呢？
俞陳潔：角是怎麼樣的？
俞 傑：角的邊怎麼是直的？
呂冰心：角是三角形的。
陳 金：角是尖尖的。
俞 傑：角是平平的。
陳 金：角是由一個端點兩條邊的。
師：也就是說大家想研究角的形狀（板書：角的形狀怎麼樣？）
呂冰心：角的大小是怎麼樣的？（板書：角的大小？）
師引導：今天我們研究角與直角，你想知道直角的什麼知識？
俞陳潔：直角的形狀是什麼樣的？（板書：直角的怎樣的？）
樑 偉：直角與角有什麼不同？
陳碧輝：怎麼來判斷這個角是什麼直角？（怎樣判斷直角）
計劃策略包括設定學習目標、瀏覽閱讀材料、產生待回答的問題以及分析如何完成學習任務。
資料來源：陳琦 劉儒德 《當代教育心理學》 北京師範大學出版社 2002年版199
分析：《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”這就是說，數學教學活動要從以學生的發展爲本，要把學生的個人知識、直接經驗和現實世界作爲數學教學的重要資源。
（1）任何一個學生學習任何一項新知識，都不是從一無所知開始的，他們在學習之前就已經具備與新知識有關的知識和技能。從學生簡單而直接的回答可以看到這一點。如學生提出：“角是怎麼樣的？”、“角的大小是怎麼樣的？”、“直角與角有什麼不同？”。有學生自己的腦海中肯定出現相應概念意象（概念名稱相聯繫的思維圖象以及描述它們所有特徵的性質……）。只不過不一定是科學的。從神經科學的研究得出，這種已有經過加工（生活經驗積累）的老資訊，對新資訊（新知識）處理起着關鍵性作用。當然，我們從一系列學生的問題，可以看出整堂課的學習目標。
（2）從學習資訊加工論的視角看，要使學習得以發生，必須有被激發起動機的學習者，要促進學習者的學習就要使其具有一種達到某種目標的動力。只有上述的學習目標建立，學習者想達到目標纔會與自己的學習行爲聯繫起來，纔會在一項認知活動之前計劃各種活動，預計結果、選擇策略，想象出各種解決問題的方法，並預估其有效性。
綜上所述，數學學習開始階段，明確所學內容的性質（如數學概念學習還是數學規律學習，是鞏固性練習還是綜合性問題解決等），對問題情境中的各種資訊有準確的知覺和分類，並對有效資訊作出迅速選擇，調動頭腦中已有的相關知識，安排學習步驟，選擇學習和解決問題的方法，並估計各方法的趨勢和成功可能性，等等，這是學生對自己的數學學習過程進行監控的前提。
〖案例2〗數學學習活動監控策略應用案例
2001年5月17日，四年級學生俞××向陳××老師提出問題
生：陳老師，這幾天學習應用題，上課聽懂了，當天作業也做對了。但回家做課外作業時，好象無從下手，也不知爲什麼（情感體驗——困惑）？如題目：“同學們參加建校勞動，陳剛4次搬磚20塊。照這樣計算，他再搬3次，一共搬磚多少塊？”
師：讀題時要學會自問：這道應用題告訴我們什麼條件？什麼問題？條件與問題有什麼關係？
生：“陳剛4次搬磚20塊”、“他再搬3次”。
師：這些條件可以知道什麼？
生：（想了一會兒）明白了，前面的可求出每次搬了20÷4=5（塊），後面的（又思考了一會兒）可知共搬了7次。
師：不要急於列式，要學會理解題意，去分析條件與問題的關係。
監控策略是指在認知過程中，根據認知目標及時檢查評價認知活動。如檢查學習內容是否被領會，知識的預備度或熟練度是否不足，策略的選擇是否有效，目標設定是否過高或過低等等，把偏差找出來，有監視然後纔有調節。
資料來源：北京教育學院心理系 《教師實用心理學》 開明出版社 2000年版112
分析：（1）學習數學的主體對自己的學習和所學知識總有一個評價，評價包括結果的正確性、解法的有效性、程序的簡捷性，計劃的可行性，對問題的理解的正確性等。實質上這就是元認知監控，當然學生並不知道這一點。學生對自己學習的形成評價，對數學認知活動起收斂作用——數學方法的總結、數學思想的提煉，使學生對數學問題的整體意識，認知層次更清楚。俞××同學對自己理解這個題的評價結果是向老師請教解該類題的解決方式（知所以然）。這是一種對數學認知活動的監控，表現爲對數學思維活動中的錯誤及時糾正，對所存在的問題及時覺察。
（2）學生在數學學習的認知活動中，必須伴隨着情感體驗，有的還是自覺意識，它常使學生依次來調節自己的學習行爲。“如果說，老師有比學生強的地方，那就是老師容易看出哪些可能是彎路，哪些可能會成功，因而彎路走得少一些，成功的可能性大一些罷了。”我們應該能看到，這種能力要在不斷的情感體驗中來累積。小學生處於積極的情感體驗與消極的情感體驗交替狀態。積極的情感體驗能促使主體對原有目標修正，重新調整學習策略。即使遇到思考不清楚的問題時，也能有勇氣、有自信心，想方設法克服困難。常常處於消極體驗的學生，其表現則反之。因而，教師要細心觀察學生的情緒變化。儘可能的讓不同的學生獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難的意志，建立自信心。本案例中俞××同學對自己認知產生懷疑，教師透過在學習策略上的啓迪，讓學生自己經歷找到解決問題的有效思路。本質的說，就是讓學生自己消除了懷疑感。傳統課堂教學上，教師關注的是學生是否會解這道題。教師強加性的反饋，如，“會了嗎”、“知道了嗎”、“懂了嗎”。很多學生所謂的“會了”，實際上存在差異，如案例中的題，更多學生是認爲此類複雜的歸一問題是20÷4×(4+3)，用學生的話說即：“前面大數（20）除以小數（4），乘以小數（3）加小數（4）。”筆者認爲，教師的教學觀應從展現解法轉向展現思路的尋找過程。在本案例俞××同學短暫的二段思考，就使她經歷了“目標——結果”的梳理過程。這樣的經歷不僅讓學生學會了解這道題，更多的是讓學生感受到解應用題的內部機制。
〖案例3〗數學學習活動調節策略應用案例[1]
師：同學們，我們一起進行研究。你能用已經掌握的知識或經驗來計算 ÷2嗎？
學生活動：（1）學生獨立探究，尋求計算方法。
（2）小組合作，交流算法。
師：下面我們一起來交流大家的研究成果，哪一個小組願意先來彙報。
生：我們組有三種不同的計算方法
方法一：是化成小數計算，÷2=0.8÷2=0.4。
方法二： ÷2= =，就是4個，把4個平均分成兩份，就是2個即。
方法三：÷2就是求的一半，的一半就是的是多少，也就是隻要乘這個整數的倒數就可以了，÷2= ×= 。
師：同學們有沒有發現剛纔這個同學在彙報這種方法的時候，算式中有兩個明顯的變化，一是（學生齊說）除號變成了乘號，2變成了倒數。
生：我們組應用了商不變性質，÷2=（×）÷（2×）= ÷1=。
師：老師有一個小小的問題，這裏爲什麼要把被除數和除數都乘呢？
生：因爲乘的話就是把除數轉化成1了，這樣計算就比較簡便了。
師：剛纔老師發現這一組的同學有一種很好的方法，你們願意來彙報嗎？
生：我們組也是應用了商不變性質，÷2=（×5）÷（2×5）= ，把被除數轉化成了整數計算也就簡便了。
師；這種方法也很有意思。同學們真不簡單，剛纔我們創造了5種計算方法，現在我們能否對這些方法進行簡單地整理呢？請同學們先仔細觀察這些算式。
（觀察思索，也有學生在跟旁邊的同學低聲商量）。
生：我把後面的兩種歸爲一種，因爲它們都是應用了商不變的性質來計算的。
生：我覺得其他的幾種都可以單獨歸爲一種。
師：大家覺得這兩位同學有道理嗎？
師：（根據學生的彙報移動板書，並相應地標上序號）
①÷2=0.8÷2=0.4
②÷2= =
③÷2= ×=
④÷2=（×5）÷（2×5）= 或÷2=（×）÷（2×）= ÷1= 。
師：現在請同學們以小組爲單位，把這幾種方法嘗試着應用於（÷4）中，看看同學們是不是又什麼新的發現。（合作前請各小組先合理地分好工）
生：我們發現÷4不可以化成小數計算，第一種方法不行。第二種分子直接除以整數的也不行。
生（同一組的學生）：我們組發現第三種和第四種方法都是行的。÷4= ×= ，÷4=（×）÷（4×）= ÷1= ，÷4=（×7）÷（4×7）=3÷28= 。
生（另外一組的學生）：我對剛纔那個同學的意見有點想法，我覺得分子直接除以整數的這種方法也是可以的÷4= = = = 。
師：唉！同學們請看這位同學的方法，大家說怎樣？
生：也可以的，就是比較麻煩了一點。
師：請同學們仔細觀察這幾種計算方法，現在大家又有什麼新的想法呢？
生：第三種方法比較方便一點。
師：大家都有同樣的想法嗎？所以我們把這種方法稱爲常用的一般的計算方法方法。
調節策略是在學習過程中根據監視的結果，找出認知偏差，及時及時調整策略或修正目標；在學習活動結束時，評價認知結果，採取相應的補救措施，修正錯誤，總結經驗教訓等等。
資料來源：北京教育學院心理系 《教師實用心理學》 開明出版社 2000年版113
分析：數學學習過程中的關鍵詞：“數學反思”。所謂數學學習中的反思，即自己參與了數學活動，然後脫身出來，作爲一個旁觀者來看待自己剛纔做了什麼事情，把自己所做的過程置於被自己思考的地位上加以感悟，以便意識到深藏在自己行爲後面的實質。數學反思不單是學習經驗的總結，更是伴隨整個數學學習過程的定向、監控、分析和解決問題的活動。根據反思時間的不同，Killion和Todnem將反思分爲3種類型[1]：其一，對於活動的反思；其二，活動中的反思，自己的想法、做法進行反思；其三，這活動反思，這種反思是以上2種反思的結果，以上述2種反思的結果爲基礎來指導以後的活動。當前的數學學習存在一大缺陷，就是過分強調操作化。通常數學學習活動是憑藉自己的知識經驗（當然我們不能否認它的價值）進行簡單重複的學習。這種活動所依賴的是那些通常並不清楚的經驗和理解進行的自動化的、直覺的操作活動。大多數學生參與數學學習後，他們不知道這個知識是怎麼來的，這樣學習有什麼有。張奠宙教授在“數學課程改革熱點問題圓桌互動式研討會”中就提出了我們忽視的主題：反思。他談論到：“現在的數學課，往往是前半段課很熱鬧，學生展示問題，合作探究，但是對探究出的東西教師沒能讓學生進行進一步的領悟與反思。課堂不能光圖熱鬧，我擔心現在的課堂體驗、經歷多了，但是不能從體驗中“悟出”一些高層次的東西，這樣下來，學生得不到真正意義上的數學知識。學生對所學的知識進行反思，是一種更深層次的學習過程。”本案例中，整個學習過程，教師總是讓學生在數學活動中對所學的數學知識進行領悟、反思，進一步對他們的思考進行梳理、提升。我們可以從二個層面的緯度來分析。緯度一，教師的整體設計滲透了讓學生參與“反思”的意識。他從帶有特殊性的知識點÷2引入。這樣的引入容易激發學生探究的潛能。學生在活動的多種方法呈現就很好的說明問題。在此基礎上，老師四兩拔千斤，提出新的知識點÷4。讓學生自主進行運用。緯度二，教師的引導讓學生參與領悟、理解、整理、……。“生：我們組應用了商不變性質，÷2=（×）÷（2×）= ÷1= 。師：老師有一個小小的問題，這裏爲什麼要把被除數和除數都乘呢？生：因爲乘的話就是把除數轉化成1了，這樣計算就比較簡便了。”老師的小小問題，老師自己真不懂嗎？它給學生們又帶來了什麼？“剛纔我們創造了5種計算方法，現在我們能否對這些方法進行簡單地整理呢？”這樣簡單地整理，不是對幾種方法的簡單確地整理，而是對分數的一系列知識進行有聯繫的系統化。“把這幾種方法嘗試着應用於（÷4）中，看看同學們是不是又什麼新的發現。”學生髮現了數學的研究過程，學生髮現了分數除法的內在本質。數學教學必須強調“數學本質”，數學知識的內在聯繫；數學規律的形成過程；數學思想方法的提煉；數學理性精神的體驗；等等。
文獻參考：
[1]陳琦 劉儒德· 當代教育心理學【M】. 北京：北京師範大學出版社 2002年版
[2]北京教育學院心理系· 教師實用心理學【M】. 北京：開明出版社， 2000年.
[3]中國教育學會中學數學教學專業委員會· 迎接21世紀挑戰的數學教育【M】. 北京：人民教育出版社， 1999年.
[4]鄭毓信等· 數學學習心理學的現代研究【M】。 上海：上海教育出版社， 1998年。
[5]陳亮，朱德全· 數學探究教學的實施策略【J】. 數學教育學報， 2003.8（3）
[6]]範良火等· 華人如何學習數學（中文版）【M】。 江蘇：江蘇教育出版社， 2005年。