摘要：要提高高中數學的課堂效率，課堂教學必須圍繞數學核心內容，充分挖掘數學本質；明確每節課的數學目標，使其細化具有可操作性；充分關注學生的主體，激發學生深層次的思考；有效駕馭課堂生成，適時概括和提升，潛移默化地給予學生幫助。
關鍵詞：數學本質；數學目標；學生主體；概括提升
如何在有限的數學課堂時間內最大限度的完善學生的數學認知結構，提高學生的思維品質，這是我們每位教師研究的永恆課題。思維的昇華從有價值的思考開始，學生良好的思維品質的培養，需要教師高水平的預設和高水平的駕馭生成。課堂教學既是藝術，更是科學，透過課堂觀察，我覺得如下幾個途徑值得思考:如何圍繞數學核心概念，充分地挖掘其數學本質；如何細化教學目標，使其具有可操作性；如何關注學生的認知基礎和心理特徵，創設合理的問題情境和結構；如何重視學生主體作用的探究課堂，充分發揮教師的主導作用。前三個方面是教學預設的關鍵，最後一點更多的體現教師的課堂駕馭能力。
一、圍繞核心內容，挖掘數學本質
課堂教學的時間是極其寶貴和有限的，圍繞核心內容，洞悉其數學本質，是完善學生認知結構的着力點，學生能力得以發展的增長點。高中課改以來，高中數學內容發生了很大的變化，尤其許多新增的知識是我們很多教師不熟悉的，比如算法、三視圖、幾何概型等等。這些概念的數學本質是什麼，我們在課堂上應該設定什麼樣的問題，才能夠激發學生捲入深層次的思維。是值得我們廣大教師特別關注的。以《算法初步》爲例，有專家指出算法的本質是程序化的解決問題或者說是解決問題策略的具體化。高中算法教學的實質是透過算法語言的學習，滲透算法的一步一步的思想，邏輯選擇的思想，循環的思想，遞推的思想，進而培養學生解決問題的能力。但是有一點特別值得注意，承載這些算法思想的是數學知識，所以在高中的數學課堂關鍵還是挖掘數學的本質特徵。比如在《算法的概念》課題研究中，大多數教師能夠利用二元一次方程組的求解步驟總結出算法的主要特徵：順序性、明確性、有限性，給出算法的描述性定義。但多數教師對探究問題的處理，對於含有重複步驟的算法，怎樣用簡潔而準確的數學符號語言展現算法，更確切的說對於引入變量的合理性和必要性剖析不深，沒有很好的突破難點，對算法的概念停留在數學之外的表層理解。比如《算法的概念》探究環節：探究：你能寫出“判斷整數n（n>2）是否爲質數”的算法嗎？（可以設計一個具體問題，降低抽象性）例.設計一個算法，判斷2011是否質數.學情：很多學生會設計出含有省略號的求解步驟，但這不是我們需要的算法。解題核心：怎樣用簡潔而又明晰的數學符號語言來表達這個算法.問題1.每一步有什麼規律可循？設計意圖：爲引入變量的合理性和必要性創設問題情境。學生總結：均是用2到2010之間的整數除2011，得到相應的餘數。問題2.什麼樣的數學符號可以概括這種重複的步驟。設計意圖：將數學的變量思維方法滲透給學生。學生總結：引入變量i和r，用i除2011，得到餘數r。教師提升：引入變量後，我們自然要研究它的範圍，顯然2臆i臆2010，當i>2010或r=0時停止重複。（而不應該在引入變量後，強說要給它一個初始值，還要給一個終止重複的條件）有了以上關於此題算法的主要步驟的分析，或者說明確了算法的算理，學生自己完成算法步驟，已經順理成章。分析：算法概念這一節，強調算法順序性、明確性、有限性固然重要，但是怎樣用簡潔而準確的數學符號語言展現算法，纔是我們高中數學算法教學中研究的重點和難點，也是高中數學《算法的概念》這一節核心概念的體現。算法的本質是程序化的解決問題，高中數學算法的本質則是用簡潔而明確的數學符號語言表達解決問題的程序化過程。怎樣用數學的符號語言簡明直觀地表達算法的關鍵步驟，這是設計算法的突破口。從自然語言，到程序框圖語言，再到進階程序語句的每一節，承載算法思想的是數學知識，算法教學的重點和難點，仍然是數學知識本身，確定好每一節的核心概念，讓學生悟透，才能讓學生在潛移默化中領會算法思想，提高解決問題的能力。
二、明確教學目標，使其具體可測
教學目標確定了教學活動實施的方向和預期達到的結果，它是一切教學活動的出發點和最終的歸宿，課時教學目標的有效確立與規範表述，是主導課堂教學從經驗性設計走向科學化教學設計的關鍵。課時教學目標是在課程的三維目標指導下確定的`具體目標，應該是適合學生先前經驗，具有可操作性和可評價的清楚的教學目標。明確、具體、可測是課時教學目標的基本特徵。聽課視導過程中發現了一種現象，一些老師的教學是盲目的，教案上所寫的教學目標隨意和形式化，沒有認真思索和研究，導致實際教學效果不佳。比如《高三圓錐曲線複習課》：作課老師直接給出一道“以橢圓和直線爲背景”的圓錐曲線的綜合題。大概給了學生15分鐘的時間獨立思考和解析此題，然後學生辨析和研討各種解法（關注學生參與，值得提倡）。因爲所設直線方程的形式不同，學生出現了幾個解法，老師更多地分析哪種解法容易遺漏、出錯的地方和叮囑學生一定要計算準確。最後臨近下課老師總結：解圓錐曲線的解答題一定要方法得當，計算準確。下課後，我和這位教師有一段交流：問：透過這節課，學生收穫了什麼？教師思索後回答：解圓錐曲線的解答題一定要方法得當，計算準確。問：那麼學生體會到怎樣的方法是得當的，怎樣計算就準確了呢？教師在思索……分析：解析幾何解答題一直是高考重點考查的問題，大綱教材版的解析幾何試題多是體現兩大問題，以點的運動性質確定軌跡的方程，以軌跡方程反過來更深入的研究曲線。解題也有了一套比較固定的解題程序：聯立方程，韋達定理求解。但新課改後的高考試題也注重了幾何直觀的考查。解析幾何和向量幾何、函數充分發揮了高中數學代數和幾何的橋樑作用，是高中數學課程中數形結合思想的主要載體，用代數的方法解決幾何問題是解析幾何的基本思想，數形結合是解決解析幾何問題的突破口。自2007年開始，對解析幾何的考查進行了積極而有意義的嘗試，其中最具核心思想的是更注重考查考生數形結合思想基礎上的圖形探究能力，強化自主探究，淡化數值推理運算，對圓錐曲線部分突出了定義和圖形幾何性質的研究。所以我們在解析幾何的教學中除了關注以往大綱教學中圓錐曲線的“數”的特徵，還要關注它“形”的特徵。解析幾何的課程目標：學生能夠藉助幾何直觀，運用圖形描述和表示問題；能夠充分挖掘幾何圖象的本質特徵，把幾何條件準確的代數化，儘量減少變量的個數；能夠明確算理，關注量與量之間的關係，注重求解模型應用，及時的轉化與化歸。針對某一節課，我們還應再細化和具體，具有可操作性。沒有關注解析幾何課程的目標，也沒有關注本節課課堂目標的盲目教學只能是低效的。
三、關注學生主體，激發深層思考
數學的基本特徵是：高度的抽象性與嚴密的邏輯性；應用的廣泛性與描述的精確性；數學研究對象的多樣性和內部的統一性。所以有數學家指出：數學是可以濃縮的，你可以奮力拼搏很長一段時間，一步一步地從不同角度透徹地研究某個方法或概念。可一旦你切實理解了它，並且產生了一種心智的洞察力能把它看成一個整體，那常常就是高度的智力的濃縮。這時你無妨把它存檔到記憶的某個角落裏，需要用時就能飛快的全部的回憶起來，並且把它當做另外某個智力過程的小小一步。這種濃縮的頓悟就是做數學最真切的樂趣之一。數學在各個層次上都充滿了這類現象，永無止境。而在教學中，我們發現很多教師更多的是利用知識的邏輯次序展開，先講概念和規則，然後給出例子和問題。其實，就數學教學而言最適宜的心理學次序與最高效的邏輯次序往往截然不同。那麼如何在學生思維的最近發展區，創設揭示數學本質的，符合學生認知的問題情境，引發學生積極和深層次的思考呢？以《三角函數的週期性》爲例，師生透過正弦函數的圖象得到周期函數的概念：對於函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有發f（x+T）=f（x），那麼函數f（x）就叫做周期函數。非零常數T叫做這個函數的週期。緊接着教師給出兩個問題：問題1：T是f（x）的週期，kT也是f（x）的週期嗎？問題2：若f（2x+T）=f（2x），則函數f（2x）的週期是T嗎？讀者朋友，可以考慮這兩個問題是否設定的得當？我們觀察的課堂，學生是不知所措的。分析：教師作爲數學研究的先行者，應該保護學生的學習興趣和熱情，低下身來，關注我們的學生，關注他們的認知基礎和心理特徵，在學生思維的最近發展區內圍繞當前學習的核心內容，創設低起點的、層層遞進的、有邏輯聯繫的問題串，引導學生透過類比、推廣、特殊化等思維活動，促使他們找到研究的問題，形成研究的方法，促進學生在建立知識之間的內在聯繫的過程中領悟本質。四、駕馭課堂生成，適時概括引領課堂是一個以學生爲主體，教師爲主導的教和學的統一。聽課視導中發現，觀念上很多老師能夠以問題引領教學，充分發揮學生的主動性，給予他們足夠的思維空間和思辨的機會，但在探究性的課堂教學中，教師的主導作用，概括引領的意識和水平還有待加強。
（1）思想方法的滲透以《對數函數的單調性》爲例：例1.比較下列各組數中兩個值的大小：淤1og23.4，1og28.5；於1og0.31.8，1og0.32.7盂1oga5.1，1oga5.9（a躍0，且a屹1）此題看似簡單，其實蘊含着重要而豐富的數學思想：轉化與化歸，函數思想，分類討論，數形結合等等。但有的教師的教學過程就是“就題論題”，沒有深層分析思維的來龍去脈，使得學生在處理教材中的例2時，沒有思考的切入點。而有的教師這樣引導例1：當我們難以用常規的方法（比如作差法）解決問題或解決起來比較麻煩時，我們可以利用轉化與化歸思想，藉助函數思想，將其看成了某個函數的兩個函數值，根據函數的某種性質（比如函數的單調性），利用函數的性質解決問題。透過這種教師的概括與提升，先使學生潛意識中解決問題的方法逐漸地結構化、明晰化，學生才能夠合理的遷移和運用它.解決例2也就輕鬆自然。學生展示：問題：若1oga34約1（a躍0，a屹1），求實數a的取值範圍。利用轉化與化歸的思想：1oga34約1ogaa函數的思想：看成y=1ogax的兩個函數值，分類討論的思想：根據底數a的範圍分情況進行討論。當a躍1，1oga34約1ogaa，34約a，則34約a約1，當0約a約1，1oga34約1ogaa，34躍a，則0約a約34，所以實數a的取值範圍爲34約a約1或0約a約34.分析：只有在平時的課堂教學中逐漸滲透數學的思想方法，才能轉化爲學生解決問題的能力，比如高考最後一題運用最多的就是轉化與化歸和函數思想，我們不能僅靠練習難題提升解題能力，而忽視課本上最能體現數學本質的典型題。
（2）通性通法的提煉解決一個問題有很多的角度和方法，教師要能夠收放有度，在學生最需要幫助時，明確指出解決此類問題的數學本質和通性通法。比如，“如何將三視圖還原爲空間幾何體”。應從三視圖的數學本質出發去思考：三視圖就是在三個兩兩互相垂直的平面中所作的正投影。構造長方體是我們解決這個難點的突破口。任何複雜的問題，利用長方體的切割，均可以解決。長方體具體化了“透過平面圖形構想空間圖形”這樣一個抽象的問題。再如，“如何解決符合幾何概型特徵應用問題”。應從幾何概型的數學本質出發去尋找解決問題的途徑：所有試驗結果均勻分佈或者等可能分佈在區域內（線段，平面或者是幾何體，角度）。解決幾何概型問題的關鍵步驟爲：找出等可能基本事件；找出所有等可能基本事件所在的區域D和隨機事件中等可能基本事件所在的區域d，由區域確定測度。教師的概括提升能力，是教師學科素養的體現，合理的概括提升，能夠完善學生的學科體系，完善學生的認知結構。
參考文獻：
［1］波利亞.徐泓，馮承天譯.怎樣解題［M］.上海：上海科技教育出版社，2007.
［2］鄭毓信，肖紅.從數學哲學到數學教育———數學觀的現代演變及其教育含義［J］.課程教材教法，2012，（12）：39耀40.