論數學

討論任意領域中智力活動的性質是一件困難的任務，對處於人類智能中心領域的數學就更是如此。對人類智能的性質作一般的討論，從本質上來說是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊範圍的智能的討論要更爲困難。理解飛機的結構和升力、推力的力學原理，比乘坐飛機、以至駕駛它要更爲困難。在沒有以直觀的和經驗的方式獲得某些知識之前，在沒有預先了解、熟悉以及駕駛過飛機之前，人們就能理解原理及其過程，這是罕見的。
在數學領域中，這種討論如果以一種非數學的方式進行的話，限制將更爲苛刻。討論必然會顯示出某些不良的特性，得到的結果所依據的材料決不可能充分;相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。儘管我甚至意識到，我將要提出的說法有不少短處，但是很抱歉我還是得說下去。此外，我準備表述的觀點，也完全可能不爲許多其他數學家所贊同。你可能獲得一個人爲的不太系統的印象和解釋。我提出的看法，對這些討論究竟有多少價值，也許是很小的。在我看來，刻畫數學特點的最有力的事實，是它和的特有聯繫。或者更一般地說，它和任何一類比處於純粹描述水準更進階一些的、能對經驗作出解釋的科學的特有聯繫。大多數數學家和非數學家將會同意，數學不是一門經驗科學，或者至少可以說它不是以某種來自經驗科學技術的實現的，但是它的和自然科學卻緊密相聯。它的一個主要分支幾何學，買際上起源於自然科學、經驗科學。某些科學中最大的靈感(我認爲是最大的)清楚地來源於自然科學，數學方法滲透和支配着自然科學的許多“”分支。在現代經驗科學中，能否接受數學方法或與數學相近的物方法，已愈來愈成爲該學科成功與否的主要標準。確實，整個自然科學一系列不可割斷的相繼現象的鏈，它們都被打上數學的標誌，幾乎和科學進步的理念是一致的，這也變得越來越明顯了。生物學變得更受到化學和物理滲透，這些化學是實驗和理論的物理，而物理是形式甚爲數學化的理論物理。
有一個甚爲特殊的數學性質的兩重性，人們必須理解它，接受它，並且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數學的本來面目，我不相信無需犧牲事物的實質，就可能簡化和單一化對事物的看法。
因而我並不試圖爲你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數學所具有的多重現象。無可否認，在人們能想象的那部分純粹數學中，某些最爲激動人心的靈感來自自然科學，我將提及兩個最值得紀念的事實。
第一個例子是幾何學。幾何學是古代數學中的一個主要部分，現在仍然是現代數學中幾個主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經驗的，它開始成爲一門學科並不像當今的理論物理。離開這些跡象，就很難說“幾何學”是什麼了，歐氏的公理化處理是幾何學脫離經驗向前跨出一大步的標誌，但是它全然不能簡單地被看成是決定性的、絕對的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面並不能滿足現代絕對的公理化對嚴格性的要求，當然這不是主要的方面。最本質的是某些無疑是經驗的學科，如力學和熱力學，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出Euclid的程序。我們的經典理論物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的實質部分都是很像Euclid的。當然在所有這些例子中，提到的公設都是以支援這些定理的物理考察、實驗論證作爲後盾的。但是人們可以論證：在幾何學獲得兩幹多年的穩定和權威之前(這種權威是理論物理的現代結構所缺乏的)，特別從古代的觀點來看，提出一種類似於Euclid的解釋是可能的.
儘管自Euclid以來，在使幾何學與經驗脫離方面已經逐步地取得了進展，但是哪怕在今天，它也決沒有變得十分完備。非歐幾何學的討論提供了這方面的一個好的說明。它也對數學思想的矛盾狀態提供了一種說明，儘管這種討論大部分發生在高度抽象的水平上，它所處理的是歐氏“第五公設”是否爲其他公設的推論的純粹邏輯;形式上的論戰由Klein的純粹數學的典範作品所。他證明了一歐氏平面，可以透過形式地重新定義某些基本概念而成爲非歐平面。這裏從開始到結束，都還是由經驗促進的。所有歐氏公設的原始根據顯然都是對整個無窮平面的概念所作出的非經驗的刻畫，爲什麼只有第五公設會有問題呢?這種撇開所有數學的邏輯，堅持必須由經驗來確定歐氏幾何是否有意義的思想，確實是由最偉大的數學家高斯提出的，後來由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Klein把它變得更爲抽象。然而我們今天所考察的關於最初爭論的形式上結果，不管是經驗的或者物理學的，都已有定論。廣義相對論的發現，迫使人們對關於幾何學相互關係的觀點進行修正。這種修正是在全新的背景下進行的。最後，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最後的進展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現代公理派邏輯數學家處理成爲完全非經驗的和抽象的。這兩種表面上似乎是衝突的態度，完美地合併成一種數學思想;因此，Hilbert在公理幾何學和廣義相對論方面都作出了重要的貢獻。第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數學分析。微積分是近代數學的最早的成果，對它的重要性，作任何估價都很難認爲是過高的。儘管我認爲它的確定比現代數學發端中的任何其他事物具有更多的歧義性，但是數學分析的系統，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術上的進步。