摘 要：本文就數學概念、數學命題等教學過程中如何滲透數學史問題進行了研究。
關鍵詞：數學教學論；數學史；教學
“數學教學論”是高等師範院校數學教育專業的一門重要必修課。在“數學教學論”教學過程中，如何有效調動學生學習和研究的積極性，使教學的內容、方式和方法貼近基礎數學教學改革，歷來是數學教育研究的熱點問題。從目前基礎數學教育改革的趨勢來看，重視科學精神和人文精神的塑造已成爲基礎數學教育改革的方向。數學發展史中積澱的深厚傳統文化和豐富數學思想方法是深化數學課堂教學改革的重要方面，“數學教學論”課程要充分反映基礎數學教育改革的現實，其有效途徑之一是在教學中加強與數學史相關內容的結合，廣泛吸收國際國內數學史與數學教育結合（簡稱HPM）研究的最新成果，恰當運用數學史案例來充分展示數學知識思維過程和方法，提高學生有效將數學知識的科學形態轉化爲教育形態的能力。因此，在“數學教學論”教學中，恰當運用數學史料進行教學具有重要的現實意義與實踐價值。本文就數學概念、數學命題和數學人文等教學與數學史結合的理論與實踐進行探討。
一、揭示數學概念認知過程與歷史發展過程的相似性，使學生把握概念教學的心理特徵。
概念教學是“數學教學論”研究的重要內容。心理學研究表明，學生獲得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由於中學生的認知結構處於發展過程之中，數學認知結構中的數學知識相對簡單而具體，在學習新知識時，作爲固着點的已有知識往往很少或者不具備，這時只能藉助生活經驗及日常概念接納概念，採取概念形成方式來學習。我們知道，每一數學概念在形成發展過程中都充滿了直觀的方法和大量辨證的思維，深刻揭示了某一類客觀對象或事物的共同本質和特徵，是人們從感性到理性認識事物的真實寫照，給學生用概念形成方式接納概念提供了豐富的資源，概念教學中運用數學史上概念發展的案例，既可以順應人類知識的形成過程又能適應學生的認知規律。高師學生在開始接觸概念教學時，由於對概念教學知之甚少，對概念的來龍去脈難以理清。因此在“數學教學論”關於概念教學研究中首先要讓學生認知數學概念的歷史發生原理，即透過一些概念的歷史形成使學生認識到，個體對數學概念的認知發展過程與該概念的歷史發展過程相似的規律。譬如說，學習代數的主要障礙在於理解和使用數學符號的意義，而數學符號緩慢的演變過程又告訴我們，數學符號的形成過程與人們的認知過程是相似的。因此，代數課程在有關數學符號的教學環節上應着重解析數學符號的歷史發展過程。再如，er在對六年級學生對角概念的理解與角概念的歷史對比研究中，得到了“學生對角概念的理解與角概念的歷史是相似的”結論。從歷史上看，古希臘人從兩邊之間的關係、質（形狀和特徵）和量（角的大小）三方面之一來定義角，但無論哪一種定義都未能完善地刻畫這個概念。J.M. Keiser透過對兩個六年級班級幾何（教材內容爲“形狀與圖案”）課堂的觀察，發現學生對角的理解也分成3種情形：
（1）強調“質”的方面：一些學生認爲，隨着正多邊形邊數的增加，“角”越來越小；即形狀越“尖”的“角”越小
（2）強調“量”的方面：一些學生認爲，邊越長或者邊所界區域越大，角越大：
（3）強調“關係”方面：一些學生認爲角是將一條邊（終邊）旋轉後與始邊之間的一種“關係”。
又如ri根據負數的歷史得出結論：“在教代數的時候，給出負數的圖形是十分重要的。如果我們不用線段、溫度等來說明負數，那麼現在的中學生就會與早期的代數學家一樣認爲他們是荒謬的東西”；e透過對函數歷史的考察獲得啓示：在中學階段，將函數概念定義爲數集之間的對應關係是合適的；在中學數學中必須強調具有函數式的例子，將函數等同於解析式，不應被看作是一個大錯誤！在引入數學概念時以恰當的方式介紹其發展歷史，有助於中學生從整體上把握數學概念的發展脈絡，認識到概念演變修正過程與個體認知過程的相似性，對數學概念形成完整、恰當的認識，領悟數學思想的本質。並在領略數學家們爲概念的日臻成熟所付出的艱辛與努力，以及所經受的困難與挫折的過程中體驗人性化的數學。還有引入“對數”概念時可介紹er發明“對數”的動人歷史，使對數成爲富有人性化的、而非枯燥無味的概念。因此，“數學教學論”關於概念教學的研究讓學生從歷史的角度深入認識數學概念的形成與發展的心理過程，將有助於今後在教學中針對中學生認知的心理特點設計最佳教學方案，提高概念教學的質量和效益。
二、引導學生進行基於數學史的數學命題、公式等數學結論教學案例設計，學會在教學中透過展示數學知識的
歷史原創暴露數學思維過程的方法教學。
從某種意義上來說，數學理論的研究過程就是數學命題的證明（或證僞）以及以適當的方式將這些被證明的命題組織成理論體系。從數學活動角度來說，這種過程一般是需要多次反覆的，要經歷一個不斷抽象、層層深人的過程。因此，數學教學既要教“結論”，更要教“過程”。既要重視數學內容的形式化，又要重視數學發現過程的經驗性。而現行中學數學教材中許多內容都簡化了概念和定理的提出過程，省略了發展、探索的過程，而這些概念、定理是如何被發現的，解決問題的方法又是如何構想的，對中學生來說有一種說不出來的神祕感和疑惑感．所以在數學教學論的教學中必須教育學生在未來的教學中應精心設計、模擬知識形成的原始思維，爲學生創設問題情景，交給學生髮現、創造的方法． 數學歷史上定理的發現探索過程可以啓迪學生掌握正確的.學習方法，將邏輯推理還原爲合情推理，將邏輯演繹追溯到歸納演繹；可以激勵學生去發現規律，總結定理，從而極大地滿足學生髮現與發明的成就感，傳統數學教材中缺少對數學定理形成過程的闡述與剖析，呈現的是一些完美的結論和嚴謹的推證過程，這將直接導致學生對學習數學失去主動性與創造性。因此，在數學教學論關於定理、公式、法則等內容的教學中，應適當介紹其歷史上的發現探索歷程及不同的證明方法，使學生學會在今後的教學中將數學家們發現數學結論的歷史過程變成學生進行實驗發現的過程，從而激發中學生的學習主動性與創造性。譬如；從古希臘數學家阿基米德使用“平衡法”推導球體積公式與我國古代數學家劉徽和祖沖之父子得到球體積的過程；歐拉解決哥尼斯堡七橋問題思路；牛頓、萊布尼茲等人發明微積分的過程的介紹中，都可以將數學家創造數學真理的思維過程活生生的展現在中學生面前，改變那種從公式到公式、從定理到定理的教學程式。還有古希臘、中國、印度、歐洲數學家等中外數學家在勾股定理的發現與證明中的幾百種證明方法都深刻反映了數學結論發現的火熱過程，充分暴露了數學家們發現數學結論的思維過程。在“數學教學論”的教學中教給學生恰當地設計基於數學史的教學案例，將案例程式化爲實驗、操作、發現結論等過程不僅將現行教材中數學結論的冰冷美麗還原爲火熱的思考，特別將數學實驗引入數學課堂，使中學生學生透過“猜想——實驗——再猜想——再實驗——得出正確的結論——證明”過程體驗，真正完成一個完整的知識建構過程。將是數學教學論課程教學實現的一個重要目標。
三、引導學生探討數學史與數學教育結合的內涵，認識數學歷史問題培養中學生人文精神的重要作用。
“體現數學的文化價值”是高中數學新課程的一個基本理念，新課程標準強調“數學文化應儘可能有機地結合高中數學課程內容，選擇介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物，反映數學在人類社會進步、人類文明發展中的作用”。“數學教學論”充分體現新課程的這一理念，對於高師學生在未來的教學中培養中學生用文化的視野來看數學，用數學的眼光來看文化的意識或觀念有着深刻的意義。
數學是幾千年來全人類孜孜探索共同取得的寶貴財富，是各國數學家相互交流、學習、共同探索的智慧結晶．不同國度與民族的思維特點、價值觀念使數學呈現出不同的特點．因此“數學教學論”在結合數學史進行數學人文教育中應遵循時空多元原則，突破時空侷限來選擇數學史內容，力求反映不同時期、不同國度、不同民族和不同文化背景的數學歷史．譬如，中國古代數學長於計算與構造，諸如“孫子定理”“百雞問題”“盈不足術”等內容具有中華民族傳統文化特色且在國外有一定影響；古希臘數學長於演繹推理與論證，其公理化思想與方法在數學發展史上具有極其重要的地位與作用．選材時應打破封閉格局，將中外數學歷史納人視野．旨在引導學生尊重、理解、分享、欣賞多元文化下的數學，拓寬學生的視野，培養學生全方位的認知能力、思考的彈性與開放的心靈．
“數學教學論”與數學史結合的教學中還應使學生認識到，配合數學內容與要求所選取的數學史內容應既能被中學生理解，又能引起他們的興趣．深奧難懂的數學史料自然達不到教育的目的，枯燥乏味的數學史料也同樣起不到教育的作用．所選史料的內容與形式應不拘一格、靈活多樣、題材典型、情節生動、發展曲折、引人人勝．就內容而言，可以是數學概念。數學符號、數學思想方法、歷史著名問題甚至理論體系的發展歷史；也可以是數學家的創新意識、獻身精神、奮鬥歷程與獨特個性；就形式而論，除文字表述史料外，更應突出圖形、圖表與圖象史料．如數學家（如 Archimedes、I．Newton、L．Euler、C．F．Gauss、祖沖之、華羅庚、陳省身、蘇步青、吳文俊等）的頭像、數學圖案（如勾股定理、L．Eler公式、C．F．Gauss複平面、黃金矩形、雪花曲線）、數學家的墓誌銘（如 Diophantus的年齡問題）和墓碑圖案（如Archimedes的圓柱球、J．Bernoulli的對數螺線、C．F．Gauss墓前塑像座上的正十七邊形）．旨在幫助中學生學習數學，激發其學習熱情，展現科學與人文精神。在數學問題配置與求解中可選擇歷史上不同時期、不同文化的一些著名數學問題，這此問題及其求解提供了相應數學內容的現實背景，揭示了實質性的數學思想方法，蘊涵了數學家爲之奮鬥的曲折歷程與苦樂體驗，展現了廣闊而生動的人文背景。譬如，可選擇幾何《原本》、《九章算術》等經典名著中的問題；介紹我國趙爽、印度人、阿拉伯人和a在求方程的根這一問題上的成就；在求解冪和問題時可介紹s的方法、源於agoras的形數方法和楊輝的“垛積術”與“補差術”方法.在問題求解中應側重對歷史上所用各種數學思想方法進行比較分析，使學生了解不同文化背景中的數學思考方式，啓發其數學思維，提升其數學欣賞能力，在社會歷史文化與數學思維的雙重薰陶下，獲得數學認知活動的文化意義，在數學教育中實踐多元文化關懷的理想。
四、結語
數學史融入數學教育的有效性歸根到底要經過課堂實踐。高師“數學教學論”滲透數學史進行教學一方面可以促進數學教學論課堂內容和教學方式、方法的改革，另一方面可以增強高師學生進行中學數學教學與研究的能力，從而提高學生的從師素質。