數學是自然科學研究和工程技術應用的重要工具，在理工科院校中，高等數學是一門非常重要的基礎課，是學生學好其他基礎課和專業課程學習的基礎。然而，高等數學中涉及大量的計算，學生在掌握理論知識的基礎上，要演算某個例題或者推算定義定理的時間較長。如果學生大部分時間都花在不必要的機械性的計算上，就會忽略對定義和定理的理解。Matlab 中包括大量的函數，直接調用這些函數可以方便實現高等數學中的極限、求導、積分、以及微分方程等計算問題。Matlab 指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，學生稍加理解就能上手。在教學中引入 Matlab 提高了學生運用數學知識解決實際問題的能力。本文以同濟大學數學系編着的《高等數學》爲例，主要介紹符號計算和圖形處理功能在高等數學教學中的應用。
1 符號計算在高等數學教學中的應用
1.1 求極限。
高等數學教學通常會介紹等價無窮小求極限、洛必達法則求極限、兩個重要極限等方法求極限。
對理工科學生以及部分經濟管理類學生在極限的應用中更關心的是所求極限的結果。這時學習一個Matlab 命令要比學習這些數學方法要快得多。
如求極限
。此題用到的是兩個重要極限求極限的方法，學生難於理解，而 matlab 命令爲：
syms x
limit（（（x-1）/（x+1））^x,x,inf）
回車即可返回結果：ans=exp（-2）
1.2 求積分。
高等數學求積分的內容涉及不定積分，定積分，重積分，以及積分的應用，但是在講不定積分、定積分內容授課學時中 2/3 之二的時間都在介紹計算方法，包括湊微分、換元、分部積分、有理函數積分、反常積分。而 Matlab 的求積分命令只有一個卻可以解決各類積分方法的積分求解問題。
如求積分
。 此題用到換元的方法求解，計算比較複雜，而 matlab 命令爲：
syms x
int（1/（（1+x^（1/3））*sqrt（x）））
回車即可返回結果 ans=6*x^ （1/6）-6*atan（x^（1/6））
1.3 求解微分方程。
高等數學微分方程這一章主要介紹微分方程求解方法，如齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常係數齊次和非齊次線性微分方程。 對於具體的微分方程問題，學生往往不知道採用哪種方法去求解。Matlab微分方程求解也只有一個命令。
如求微分方程 y“=+y=xcos2x. 此方程爲常係數非齊次線性微分方程，求解方法爲先求得其所對應的齊次方程的通解，再求其一個特解。計算量較大，而一個。Matlab 命令就可以解這個微分方程，並且所有的微分方程求解都用這個命令。此題 Matlab 命令爲：
dsolve（‘D2y+y=x*cos（2*x）','x’）
返回結果爲：ans=sin （x）*C2+cos（x）*C1+4/9*sin（2*x）-1/3*x*cos（2*x）
2 繪圖功能在高等數學教學中的應用
Matlab 強大的繪圖功能可以幫助學生從直觀上理解高等數學中抽象的概念，將邏輯思維與形象思維有機的結合起來。
2.1 圖示法觀察泰勒級數和原函數的逼近。
在教學過程中，很多學生對泰勒公式的含義理解不清楚，如果引入 Matlab 中的：taylortool 透過圖形從直觀上幫助學生加深對泰勒公式的理解，加深對泰勒級數逼近函數這一思想方法的理解。
如求 y=cosx 的麥克勞林展式。在命令視窗輸入taylortool 回車，開啟 taylor tool 視窗，函數 f（x）輸入cos（x），a 輸入 0,x 的變化範圍輸入 -2*pi,2*pi.分別給出 N=3,N=7,N=20 函數的逼近圖形。 讓學生理解，離 x=0 處越近函數的逼近效果越好，N 越大，函數逼近效果越好。
2.2 圖示法理解振盪間斷點和無窮小量與有界量乘積仍是無窮小量。
函數 y=sin（1/x）在 x=0 點處無定義，故 x=0 是間斷點。但如何確定函數在該點的間斷點類型呢？這時可以藉助 matlab 繪圖功能，幫助學生理解振盪間斷點。
輸入：ezplot（‘sin（1/x）',[-pi,pi]） 輸出爲圖 1
輸入：syms x
limit（sin（1/x），x,0）
輸出：ans =-1 . . 1
從輸出結果可以看出函數函數 y=sin（1/x）在 x 趨於 0 時，函數 y=sin（1/x）值在 -1 和 1 之間振盪，極限不存在，因此，x=0 稱爲振盪間斷點。
先看一下函數 y=xsin（1/x）的圖形：
輸入：ezplot（x*sin（1/x），[-pi,pi]）
輸出爲圖 2. 圖 2 表明函數 y=xsin（1/x）的值不斷振盪，但 |sin（1/x）|≤1,即 sin（1/x）在（-∞，+∞）之間是一個有界的函數，並且在 x 趨於 0 時，函數 y=xsin（1/x）圖形離 0 的值越來越近，即趨近於 0.
再求函數在 x 趨於 0 時的極限：
輸入：syms x
limit（x*sin（1/x），x,0）
輸出： ans=0
即
透過函數 y=xsin（1/x）。
的圖形和極限可以幫助學生理解無窮小量與有界量的.乘積仍爲無窮小量。
2.3 圖示法理解函數用冪級數逼近和用傅立葉級數逼近的區別。
學生常常不明白函數用冪級數逼近和用傅立葉級數逼近有什麼區別，若單純從理論上來分析解釋，學生是難以接受和理解，利用 matlab 軟件作圖，可以幫助學生區分二者不同，化解難點。
我們可以利用前文中的 y=codx 的麥克勞林展式爲例，幫助學生理解，函數的冪級數逼近只在某一點附近的逼近效果較好。對於函數的傅立葉級數逼近，我們可以採用下面的例子：g（x）是以 2π 爲週期的周期函數，它在[-π，π]表達式爲：
將 g（x）展開成傅立葉級數，並用 matlab 作圖，分別比較 g（x）的傅立葉級數的前 3、5、7、9 項與 g（x）的接近情況。程序和圖如下：
f='sign（sin（x））';
x=-3*pi:0.1:3*pi;
y1=eval（f）；
plot（x,y1,'r’）
pause
hold on
for n=3:2:9
for k=1:n
bk=-2*（（（-1）。^k）-1）/（k*pi）；
s（k,:）=bk*sin（k*x）；
end
s=sum（s）；
plot（x,s）
pause
hold on
end
圖 3 的四幅圖中紅色線爲 g（x）的圖形，是一方波，藍色線爲展開的 g（x）的傅立葉級數的不同項數的函數曲線，從圖中可以看出，n 越大，整體逼近效果越好。透過 matlab 作圖幫助學生理解了和函數的冪級數逼近只在某一點附近的逼近效果不同，函數的傅立葉級數逼近是整體的逼近。
3 結束語
MATLAB 爲多層次教學、演示教學、實踐教學等現代化教學提供了一個良好的平臺，透過 MAT-LAB 強大的符號計算功能和圖像處理功能，調動了學生學習的積極性，起到了事半功倍的效果，真正體現了虛擬課堂的作用，爲進一步提高教學水平和教學質量，推動高等數學教學改革提供了新的思路。
參考文獻：
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