隨着教育改革的不斷深化，改革的重點勢必落在課堂教學上。在課堂教學的改革中，在對有意義的接受性學習研究的同時，研究性學習越來越受到大家的重視。本文就小學數學中的研究性學習談幾點看法。
一、小學數學研究性學習的意義和目的
《九年制義務教育全日制小學數學教學大綱》闡明瞭數學的重要作用：“數學是學習現代科學技術必不可少的基礎和工具。它在日常生活、生產建設和科學研究中，有着廣泛的應用。因此掌握一定的數學基礎知識和基礎技能，是我國公民應當具備的文化素養之一。”又指出：“小學數學是義務教育的一門重要學科。從小給學生打好數學的初步基礎，發展思維能力，培養學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，對於貫徹德、智、體、美全面發展的教育方針，培養有理想、有道德、有文化、有紀律的社會主義公民，提高全民族的素質具有十分重要的意義。”
小學數學教學要求我們以唯物辯證法爲指導，理論聯繫實際，使學生在掌握基礎知識的同時，發展智力，培養能力，激發學生學習數學的興趣和求知慾，充分調動學生學習的積極性和主動性，小學數學的研究性學習則是在教師的指導下，是學生自己發現問題，帶着問題運用觀察、比較、分析、判斷、推理等研究手段自己獲取新的知識，使問題得到解決的一種學習活動。這種學習能有效地提高學生學習的興趣，提高學生數學邏輯推理的思維能力，提高學生問題解決的策略能力，從而達到小學數學教學的目標要求。
施良方教授在《教育理論：課堂教學的原理、策略與研究》一書提到“廣義的知識包括兩大類：一類是陳述性知識，即‘知什麼’；另一類是程序性知識，即‘知如何’，它包括理智技能和認知策略，此外還包括動作技能中的認知成分。”程序性知識中的智慧技能、認知策略的形成則是研究性學習所要達成的目標，尤其是認知策略，學生只有透過自己學，才能掌握有意注意，思維，記憶等過程的技能。使學生學會學習，只有在教師的指導下，學生對學習材料透過自己的研究性學習，才能在學習的過程中不斷地領悟認知策略，才能逐步地掌握怎麼學，才能使他們能夠在走出學校之後，不斷地有效地學習。
數學教育的核心是問題的解決。偉大的數學家希爾伯特說：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿着生命力；而問題缺乏則預示着獨立發展的衰亡或終止。……數學研究也需要自己的問題，正是透過這些問題的解決，研究者鍛鍊其鋼鐵意志，發現新方法和新觀點，達到更爲廣闊和自由的境界。”小學數學的研究性學習正是要引導學生去發現他所未知的問題，透過數學手段來解決問題，且能用數學解決問題的策略遷移到其它問題的解決上。小學數學習題的研究性學習，既要注意生活實際中顯示的數學問題，更要注意一些有一定研究價值的體現數學方法的習題。如小學數學中的行程問題，小學生學習後可能今後再也不可能碰到這樣的問題，那麼這類問題有否研究價值呢？學習研究解決行程問題，恰是一種程序性知識的學習。研究這類問題將會告訴我們：如何從問題出發，尋找解決問題的條件，如何利用已有的條件探索條件之間複雜的隱含聯繫，從而創造出更新更直接的條件建立數學模型解決問題。這種問題解決策略正是透過對各種數學習題的研究性學習才得以形成。發現問題，研究問題，構建解決問題和認知策略，這就是小學數學研究性學習的目的和意義。
二、小學數學研究性學習的內容
研究性學習可以分成形成型研究性學習，應用型研究性學習等等。小學數學研究性學習的內容大致也可以有這幾種。
數學新知識、新概念的學習與形成如果與學生已有的認知結構與具體經驗很接近，即處於學生的最近發展區，這部分的學習內容可以作爲研究性學習的`內容。如：小數乘法的學習。學生已有整數乘法運算的知識與技能，小數乘法的計算方法的學習完全可以在教師的指導下完成。教師可以先讓學生觀察在整數乘法中，因數擴大或縮小和積擴大或縮之間的倍數關係，那麼如果小數因數去掉小數點變成整數後計算得到的積和原來的積有什麼關係呢？讓學生思考研究。經過多題的比較研究，學生可明白因數擴大若干倍積也擴大相同的倍數，如果小數乘法變成整數乘法來計算，積擴大了若干倍，要恢復成原來的積，只要把擴大的積縮小相同的倍數即可。教師繼續可引導學生去觀察：小數乘法中積的小數位數與因數的小數位數之間的聯繫，找找規律，找找原因，學生就能得到小數乘法的計算法則。再如：學習三角形面積的計算，教師給出一個三角形圖形，請學生量量算算它的面積大小，學生可能會用各種方法來試圖計算它的面積大小，如用畫方格的方法等。教師可以再給出一個完全一樣的三角形，讓學生想辦法，看能不能用這兩個完全一樣的三角形，不用畫方格的方法來計算出其中一個的面積。能不能用已學過的平行四邊形面積計算的方法試一試，學生經過討論、試驗，會試圖把這兩個三角形拼成一個平行四邊形，再測量出平行四邊形的底和高的長度，並會發現這樣一個三角形的面積恰好是拼成的平行四邊形面積的一半，並計算出平行四邊形的面積除以2就是等底等高三角形的面積。雖然拼的方法不同但計算的結果都一樣，這樣就順理成章地推匯出三角形面積的計算方法。象這類舉不勝舉的數學基礎知識和概念的形成性學習材料，都可以作爲小學數學形成型研究性學習的內容。
目前小學數學教學中教師普遍重視知識與技能形成性的研究性學習，而對另一種更重要的研究性學習，即問題解決的研究性學習或應用型的研究性學習卻沒有引起足夠的重視。小學數學教學中對數學習題的知識功能較重視，而對它的教育功能不夠重視，數學習題的解答往往停留在簡單模仿的水平上，沒有認識到數學習題是一個載體，透過解答數學習題可使學生的思維活動有一定水平的目的性、方向性、確定性和辨別性，從而成爲培養學生良好的思維品質的重要工具。在數學習題解答的研究性學習中，有的放矢地轉化解題方法，從一種途徑轉向另一種途徑可以培養思維的靈活性。堅持數學運算速度的要求，同時使學生掌握合理的運算技巧和探索問題的方法，可以培養學生思維的敏捷性。分析數學習題條件的實質，以及條件之間的相互聯繫，發現其中的隱含條件，可以培養學生思維的深刻性。善於發現問題，提出質疑，及時摒棄自己的錯誤，可以培養學生思維的批判性。在解題中引導學生重視常規而又不墨守成規，尋求變異，從多角度，全方位考慮問題，可以培養學生思維的廣闊性。在解題中鼓勵學生主動地、獨立地、別出心裁地提出新方法、新見解、不因循守舊，不迷信權威，善於聯想、善於類比、可以培養學生思維的創造性。研究解答好思維性強的習題使學生得益匪淺。
如學生學習了分解質因數知識後，可以出這樣一道題，兩個整數的積是144，差是10，這兩個整數分別是幾？學生可能會把乘積是144的兩個整數都找出來列成一表：
123468912
14472483624181612
這樣可發現只有18與8是相差10，則18與8即是本題的答案。如果進一步提出還有沒有別的方法可以解決這個問題呢？經過研究，可得到這樣的一個結論，如果兩個整數的積相等，那麼這兩個整數所含有的質因數的種類與個數完全一樣，知道兩個整數的積，只要把積所含有的質因數進行重新搭配，就能找出各種各樣的乘法算式，如果因數是整數，則這些乘法算式的個數是有限的。同學們還會根據這個結論去編出很多相關的應用題。這樣就把分解質因數這樣一個數學知識巧學活用了。
再如學生學習了正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計算方法後，讓學生去研究這樣一道題，由兩個正方形組成的如圖所示的圖形，只知小正方形的邊長爲6，求陰影部分三角形的面積，開始學生會覺得很簡單，因爲它與知道兩個正方形邊長的題目很相似，再仔細一看，發覺缺少一個條件，即缺少大正方形邊長，於是陷入一種困惑。
這時，不妨讓學生試一試憑直覺你覺得面積應是幾？很多人會猜是18！那麼爲什麼呢？不妨再讓學生去假設大正方形邊長爲已知條件，長度可以隨意定，讓學生去計算陰影部分面積，於是大家發現結果驚人的一致，都是18。這又是爲什麼呢？學生可以肯定陰影部分面積與小正方形有密切關係，而與大正方形沒有多大的關係。此時讓學生去觀察三角形AEF與梯形CBEF的大小，有沒有辦法證明是一樣大。再觀察三角形AHB與三角形CHF的大小關係，會發現這裏有一個等量替換的關係而恍然大悟。象這樣：猜想----假設----驗證----推理的研究過程將會激發學生極大的學習興趣，也可能悟出一些問題解決的策略。要使數學習題成爲小學數學的研究性學習的內容，僅依靠現有的教材是不夠的，需要我們教師不斷地根據學生的知識現狀與能力去創造，從而使數學習題的教育功能得到充分體現。當然這部分研究性學習的內容並不是每個學生每一次都能得出研究的結果，因此在內容的選擇上，應該從易到難，從簡單到複雜，而且要強調研究性學習中團隊合作的精神，一個人想不出不等於大家想不出，一個人在一個問題中思考研究出一個方面，羣體就可以解決一個較難的問題。數學習題的研究性學習是一個很重要的內容，必須引起我們數學教師，尤其是小學數學教師的關注。
三、小學數學研究性學習的策略
小學數學的研究性學習主要是透過學生自己的研究去發現認識數學知識，或利用數學知識去解決實際問題。因而在小學數學研究性學習中一般採用這樣一些策略。
第一，教師要準備可供研究的材料，要根據兒童的心理特徵設計內容，抽象邏輯思維也具有很大成分的具體形象性的特點，教師要設定問題情境，引導學生觀察各種數學現象或數字的顯著特點，並逐步縮小觀察範圍，把注意力集中於某個中心點。教師提供材料開始都應該是直觀形象的。
第二，直觀形象的材料要讓學生經過實際操作，動手算算、劃劃、分分、拼拼，引導學生提出假設，適時提出問題，引起學生思考、分析、比較，對各種資訊進行轉換與重新組合，以事實爲依據來驗證假設，並且不斷地對假設進行修正和完善，以推匯出概括性的結論。
第三，教師在整個研究過程中，要幫助學生理清思維過程，並能用比較清晰的、有條理的語言來表述整個思考與研究過程，這樣有利於學生透過研究獲得新知識與認知策略，並納入到自己的認知結構中。
第四，教師還可以提供相類似的材料，以便學生將研究所獲得的結論或方法，運用於新的問題情景中，使其得以鞏固和深入，形成問題解決策略的遷移能力。
第五，教師要適當地組織學生分組，最好能按學生學習能力的強弱交叉分組，發揮互補優勢，以體現互助合作精神。
下面僅以一例，說明以上策略的應用。教師給出一個問題解決的材料，現在有一個比薩餅，如果切10刀，最多能切出多少塊大大小小的比薩餅。（這個問題適宜於中、高年級的學生思考）。教師可先引導學生去畫一個大圓代替比薩餅，然後用直線代替切刀，先試切一刀，二刀，三刀……等等，學生動手操作，最後結論可能是不同的！切一刀，都是二塊；切二刀，就有三塊、四塊之分；切三刀；更有四塊、五塊、六塊、七塊等多種答案。教師應及時提醒學生介紹他是如何切的。學生可能一開始也不是能切出7塊的，可能也是4塊與5塊，但他及時注意到了問題的特殊要求，再繼續嘗試，結果切出7塊。這時教師要讓學生分組討論，讓他們討論切4刀怎麼樣？怎樣切才能使分成的塊數最多。經過討論，學生會得出這樣的假設，如果以直線代替刀，則要使每兩條直線都相交，並且交點不重疊，纔有可能分出最多塊。然後再讓學生試5刀、6刀，這時學生會發現第5條直線、第6條直線已經很難畫上去，圓也越畫越大。教師可適時提出，我們能不能對已研究得出的結果排列出一張有序的數據表，來思考一下其中的規律呢？結果形成這樣一張表。
觀察結果，學生會發現前一個塊數加上後一個直線條數，即是後一個分成的最多塊數。這樣就很順利地推匯出切5刀，切6刀，甚至切10刀的塊數。學生的研究性學習獲得了第一個成果。教師這時應提出更高的要求，提出更新的問題。如果要切49刀，50刀等，這樣推算是不是太麻煩？能不能找出2，4，7，11，16……這樣一串數與1，2，3，4，5……之間的關係，找找有什麼規律性的東西，學生分組討論研究，在小組討論的基礎上，由小組代表發言，形成大組討論的形式，最後能推匯出一個計算公式：（刀數＋1）×刀數÷2＋1＝塊數，然後再進行逐個數據的驗證，證明是切實可行的。這樣就完成了一個完整的研究過程，取得了研究成果的進階形式----直線分割平面的方法和計算。最後還需請幾個學生用完整的語言敘述整個研究的過程以及其中的思維活動，以利於學生構建認知結構與問題解決的策略。這樣一個從形象到抽象，從具體到一般，再回到具體的研究思維過程。是源於教師在其中的指導作用是參謀而不是主謀，到位而不越位。
四、小學數學的研究性學習和接受性學習
小學數學的研究性學習優點是明顯的。
第一，促進智力的發展。透過學生自己的發現、研究去學習，可以使學生按照促使資訊更迅速地用於解決問題的方式去獲得資訊。
第二，激發學生的學習興趣。學生體驗到研究中的樂趣，從而將學習的外部動機轉化爲內部動機，調動學生學習的積極性。
第三，培養學生掌握問題解決的策略和研究的方法。有利於學生再學習，而這種研究方法的雛形對將來進行科學探索和研究具有十分重要的價值和遷移作用。
第四，提升學生記憶品質。學生自己研究得到的成果，會把整個研究過程形成的記憶產生豐富的“再生力”而長期保持下去。
但是研究性學習也有其明顯的侷限性：第一，透過研究性學習來掌握知識，效率較低。第二，研究性學習有一定的適用範圍。第三，研究性學習要求學生具備相應的實踐經驗。對於小學生來說，如不能實踐操作的，就不能建立有效的假設，那麼研究的結果就變成一種盲目亂猜，變成一種形式主義。第四，一個人不可能只憑發現、研究去學習，沒有紮實的知識基礎，任何研究都是不現實的。
接受性學習也有其優點與侷限，其優點表現爲它可以使學生在相對短的時間內掌握大量的科學文化知識；有助於使學生掌握的知識達到系統化；有助於培養學生從書本中獲取知識的習慣和能力；另外接受性學習對教育設施的要求較低，成本低，經濟易行。但接受性學習也有其缺陷：首先，對於低年級兒童，接受學習受到很大限制，因爲他們對新知識的學習只依賴於自己的具體經驗。中、高年級學生對於新知識的學習在一定程度上仍需要自己的具體經驗爲依據。因此小學階段的數學教學光靠接受性學習是不夠的；其次，接受性學習對培養學生的探究精神、創造精神，讓學生掌握科學探究方法等方面的作用明顯不如研究性學習。
綜上所述：接受性學習與研究性學習是相互制約、相互促進的。沒有具備一定的知識基礎而進行研究性學習，其效率必然是很低下的，學生只能盲目地、機械地進行“試誤”式的研究。而有效的研究性學習賴以發生的知識基礎從何而來呢，可以來自接受性學習，也可以來自研究性學習，但主要的是來自接受性學習。另一方面，研究性學習也是促進接受學習的一個重要條件，接受性學習在一定程度上需要具體經驗作支柱，而研究性學習是學生透過自身體驗獲得具體經驗的重要途徑，因此研究性學習又是接受性學習的基礎。再者，在研究學習中要運用過去所獲得的知識，包括接受學習中獲得知識，透過運用知識來解決問題，而使知識及其運用策略得到鞏固並獲得新的理解。同時，研究性學習在使學生掌握科學發現，探究方法等方面具有獨特的功能，也是學生理解抽象的、概括性知識的必要途徑。顯然，這些作用都是接受性學習所不能替代的。總之，學校教學應以接受學習與研究學習並存，並隨教育層次的變化相應地有所變化。學生受教育的過程就是從接受走向研究的過程，小學數學教學也不例外。最重要的是，教師必須根據教育對象的特點、教學的材料等具體條件，選擇教學方式，只有真正適應學生學習的學習方式纔是好方法。