一、研究性學習
（一）研究性學習研究性學習是學生在教師指導下，從自然、社會和生活中選擇和確定專題進行研究，以類似科學研究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題，並在研究過程中透過多種渠道主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動。研究性學習與社會實踐、社區服務、勞動技術教育共同構成"綜合實踐活動"，作爲必修課程列入《全日制普通進階中學課程計劃（試驗修訂稿）》。
實施以培養創新精神和實踐能力爲重點的素質教育，關鍵是改變教師的教學方式和學生的學習方式。設定研究性學習的目的在於改變學生以單純地接受教師傳授知識爲主的學習方式，爲學生構建開放的學習環境，提供多渠道獲取知識、並將學到的知識加以綜合應用於實踐的機會，培養創新精神和實踐能力。當前，受傳統學科教學目標、內容、時間和教學方式的侷限，在學科教學中普遍地實施研究性學習尚有一定的困難。因此，將研究性學習作爲一項特別設立的教學活動作爲必修課納入《全日制普通進階中學課程計劃（試驗修訂稿）》，這將會逐步推進研究性學習的開展，並從制度上保障這一活動的深化，滿足學生在開放性的現實情境中主動探索研究、獲得親身體驗、培養解決實際問題能力的需要。
（二）研究性學習的特點研究性學習具有開放性、探究性和實踐性的特點，是師生共同探索新知的學習過程，是師生圍繞着解決問題共同完成研究內容的確定、方法的選擇以及爲解決問題相互合作和交流的過程。
1.開放性
研究性學習的內容不是特定的知識體系，而是來源於學生的學習生活和社會生活，立足於研究、解決學生關注的一些社會問題或其他問題，涉及的範圍很廣泛。它可能是某學科的，也可能是多學科綜合、交叉的；可能偏重於實踐方法，也可能偏重於理論研究方面。
在同一主題下，由於個人興趣、經驗和研究活動的需要不同，研究視角的確定、研究目標的定位、切人口的選擇、研究過程的設計、研究方法、手段的運用以及結果的表達等可以各不相同，具有很大的靈活性，爲學習者、指導者發揮個性特長和才能提供了廣闊的空間，從而形成一個開放的學習過程。
研究性學習，要求學生在確定課題後，透過媒體、網絡、書刊等渠道，收集資訊，加以篩選，開展社會調研，選用合理的研究方法，得出自己的結論，從而培養了學生的創新意識、科學精神和實踐能力，它的最大特點是教學的開放性。
（1）教學內容是開放的。天文地理、古今中外，只要是學生感興趣的題目，並有一定的可行性，都可作爲研究課題。
（2）教學空間是開放的。強調理論聯繫實際，強調活動、體驗的作用。學習地點不再限於教室、實驗室和圖書館，要走出校門進行社會實踐；實地勘察取證、走訪專家、收集資訊等等。
（3）學習方法、思維方式是開放的。針對不同目標，選擇與之適應的學習形式，如問題探討、課題設計、實驗操作、社會調查等。要綜合運用多門學科知識，分析問題、解決問題的能力增強了，思維方式從平面到立體，從單一到多元，從靜態發展到動態，從被動發展到主動，從封閉到開放。
（4）收集資訊的渠道是開放的。不是單純從課本和參考書獲取資訊，而是從講座、因特網、媒體、人際交流等各種渠道收集資訊。
（5）師生關係是開放的。學生在研究中始終處於主動的地位，教師扮演着知道者、合作者、服務者的角色。提倡師生的辯論，鼓勵學生敢於否定。
2.探究性
在研究性學習過程中，學習的內容是在教師的指導下，學生自主確定的研究課題：學習的方式不是被動地記憶、理解教師傳授的知識，而是敏銳地發現問題，主動地提出問題，積極地尋求解決問題的方法，探求結論的自主學習的過程。因此，研究性學習的課題，不宜由教師指定某個材料讓學生理解、記憶，而應引導、歸納、呈現一些需要學習、探究的問題。這個問題可以由展示一個案例、介紹某些背景或創設一種情景引出，也可以直接提出。可以自教師提出，也可以引導學生自己發現和提出。要鼓勵學生自主探究解決問題的方法並自己得出結論。
3.實踐性
研究性學習強調理論與社會、科學和生活實際的聯繫，特別關注環境問題、現代科技對當代生活的影響以及社會發展密切相關的重大問題。要引導學生關注現實生活，親身參與社會實踐性活動。同時研究性學習的設計與實施應爲學生參與社會實踐活動提供條件和可能。
（三）研究性學習的目標
研究性學習強調對所學知識、技能的實際運用，注重學習的過程和學生的實踐與體驗。需要注重以下幾項具體目標：
1.獲取親身參與研究探索的體驗研究性學習強調學生透過自主參與類似於科學研究的學習活動，獲得親身體驗，逐步形成善於質疑、樂於探究、勤於動手、努力求知的積極態度，產生積極情感，激發他們探索、創新的慾望。
2.培養髮現問題和解決問題的能力研究位學習通常圍繞一個需要解決的實際問題展開。在學習的過程中，透過引導和鼓勵學生自主地發現和提出問題，設計解決問題的方案，收集和分析資料，調查研究，得出結論並進行成果交流活動，引導學生應用已有的知識與經驗，學習和掌握一些科學的研究方法，培養髮現問題和解決問題的能力。
3.培養收集、分析和利用資訊的能力研究性學習是一個開放的學習過程。在學習中，培養學生圍繞研究主題主動收集、加工處理和利用資訊的能力是非常重要的。透過研究性學習，要幫助學生學會利用多種有效手段、透過多種途徑獲取資訊，學會整理與歸納資訊，學會判斷和識別資訊的價值，並恰當的利用資訊，以培養收集、分析和利用資訊的能力。
4.學會分享與合作合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質。研究位學習的開展將努力創設有利於人際溝通與合作的教育環境，使學生學會交流和分享研究的資訊、創意及成果，發展樂於合作的團隊精神。
5.培養科學態度和科學道德在研究性學習的過程中，學生要認真、踏實的探究，實事求是地獲得結論，尊重他人想法和成果，養成嚴謹、求實的科學態度和不斷追求的進取精神，磨練不怕吃苦、勇於克服困難的意志品質。
6.培養對社會的責任心和使命感在研究性學習的過程中，透過社會實踐和調查研究，學生要深入瞭解科學對於自然、社會與人類的意義與價值，學會關心國家和社會的進步，學會關注人類與環境和諧發展，形成積極的人生態度。
二、高中數學研究性學習
（一）數學研究性學習
數學研究性學習是學生數學學習的一個有機組成部分，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決數學的和現實的問題的一種有意義的主動學習，是以學生動手動腦主動探索實踐和相互交流爲主要學習方式的學習研究活動。它能營造一個使學生勇於探索爭論和相互學習鼓勵的良好氛圍，給學生提供自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會。數學研究性學習更加關注學習過程。
用於數學研究性學習的材料應是建立在學生現有知識經驗基礎之上，能夠激起學生解決問題的慾望，體現數學研究的思想方法和應用價值，有利於營造廣闊的思維活動空間，使學生的思路越走越寬，思維的空間越來越大的一種研究性材料。
數學研究性學習的材料不僅僅是教師自己提供的，而且教師應鼓勵學生透過思考、調查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以透過日常生活情景提出數學問題，進而提煉成研究性學習的材料。在研究性學習的過程中，學生是學習的主人，是問題的.研究者和解決者，是主角，而教師則在適當的時候對學生給予幫助，起着組織和引導的作用。
數學研究性學習的評價不僅僅關心學習的結果，而且更重要的是關注學生參與學習的程度、思維的深度與廣度，學生獲得了哪些發展，並且特別注意學生有哪些創造性的見解，同時對學生的情感變化也應予以注意。爲了使評價能夠真實可靠，起到促進學生髮展的目的，因此要充分尊重學生自己對自己的評價以及學生之間的相互評價。既要有定量的評價也要有定性的評價。
（二）數學研究性學習課題的選擇
數學研究性學習課題主要是指對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。要充分體現學生的自主活動和合作活動。研究性學習課題應以所學的數學知識爲基礎，並且密切結合生活和生產實際。新高中數學新教材將按《新大綱》的要求編入以下課題，供參考選用，當然教學時也可以由師生自擬課題。提倡教師和學生自己提出問題。
新高中數學新教材研究性學習參考課題有六個：數列在分期付款中的應用，向量在物理中的應用，線性規劃的實際應用，多面體歐拉定理的發現；楊輝三角，定積分在經濟生活中的應用。其教學目標是：（1）學會提出問題和明確探究方向；（2）體驗數學活動的過程；（3）培養創新精神和應用能力；（4）以研究報告或小論文等形式反映研究成果，學會交流。
（三）數學開放題與研究性學習
研究性學習的開展，需要有合適的載體，即使是學生提出的問題也要加以整理歸類。作爲研究性學習的載體應有利於調動學生學習數學的積極性，有利於學生創造潛能的發揮。實踐證明，數學開放題用於研究性學習是合適的。
自70年代日本、美國在中小學教學中較爲普遍地使用數學開放題以來，數學開放題已逐漸被數學教育界認爲是最富有教育價值的一種數學問題，因爲數學開放題能夠激起學生的求知慾和學習興趣，而強烈的求知慾望濃厚的學習興趣是創新能力發展的內在動力。80年代介紹到我國後，在國內引起了廣泛的關注，各類刊物發表了大量的介紹、探討開放題的理論文章或進行教學實驗方面的文章，並形成了一個教育界討論研究的亮點。
高考命題專家也敏銳地覺察到開放題在考查學生創新能力方面的獨特作用，近幾年在全國和各地的高考試題中連續出現具有開放性的題目。例如高考數學題中，1993年的存在性問題，1994年的資訊遷移題，1995年的結論探索性問題，1996的主觀試題客觀化，1997年填空題選擇化，1998的條件開放題，1999年的結論和條件探索開放。
數學開放題的常見題型，按命題要素的發散傾向分爲條件開放型、方法開放型、結論開放型、綜合開放型；按解題目標的操作摸式分爲規律探索型、量化設計型、分類討論型、數學建模型、問題探求型、情景研究型；按資訊過程的訓練價值分爲資訊遷移型、知識鞏固型、知識發散型；按問題答案的機構類型分爲有限可列型、有限混沌型、無限離散型、無限連續型。
數學開放題體現數學研究的思想方法，解答過程是探究的過程，數學開放題體現數學問題的形成過程，體現解答對象的實際狀態，數學開放題有利於爲學生個別探索和準確認識自己提供時空，便於因材施教，可以用來培養學生思維的靈活性和發散性，使學生體會學習數學的成功感，使學生體驗到數學的美感。因此數學開放題用於學生研究性學習應是十分有意義的。
（四）數學研究性學習中開放題的編制方法
無論是改造陳題，還是自創新題，編制數學開放題都要圍繞使用開放題的目的進行，開放題應當隨着使用目的和對象的變化而改變，應作爲常規問題的補充，在研究型課程中適合學生研究性學習的開放題應具備起點低、入口寬、可拓展性強的特點。
用於研究性學習的開放題儘量能有利於解題者充分利用自己已有的數學知識和能力解決問題。編制的開放題應體現某一完整的數學思想方法，具有鮮明的數學特色，幫助解題者理解什麼是數學，爲什麼要學習數學，以及怎樣學習數學。開放題的編制不僅是教師的任務，它的編制本身也可以成爲學生研究性學習的一項內容。
數學開放題的編制方法：
1.以一定的知識結構爲依託，從知識網絡的交匯點尋找編制問題的切入點。能力是以知識爲基礎的，但掌握知識並不一定具備能力，以一定的知識爲背景，編制出開放題，面對實際問題情景，學生可以分析問題情景，根據自己的理解構造具體的數學問題，然後嘗試求解形成的數學問題並完成解答。
2.以某一數學定理或公設爲依據，編制開放題。數學中的定理或公設是數學學習的重要依據，中學生的學習特別是研究性學習常常是已有的定理並不需要學生掌握，或者是學生暫時還不知道，因此我們可以設計適當的問題情景，讓學生進行探究，透過自己的努力去發現一般規律，體驗研究的樂趣。
3.從封閉題出發引申出開放題。我們平時所用習題多是具有完備的條件和確定的答案，把它稱之爲封閉題，在原有封閉性問題基礎上，使學生的思維向縱深發展，發散開去，能夠啓發學生有獨創性的理解，就有可能形成開放題。在研究性學習中首先呈現給學生封閉題，解答完之後，進一步引導學生進行探究，如探究更一般的結論，探究更多的情形，或探究該結論成立的其它條件等等。
4.爲體現或重現某一數學研究方法編制開放題。數學家的研究方法蘊涵深刻的數學思想，在數學研究性學習中讓學生親身體驗數學家的某些研究，做小科學家，點燃埋藏在學生心靈深處的智慧火種。以此爲着眼點編制開放題，其教育價值是不言而喻的。
5.以實際問題爲背景，體現數學的應用價值編制開放題。在實際問題中，條件往往不能完全確定，即條件的不確定性是自然形成的或是實際需要，其不確定性是合理的。如包裝的外型，花圃的圖案，工程的圖紙這些是需要設計的，而由於考慮的角度不同，設計者的知識背景、價值判斷不同，得出的方案也會不同。
以實際問題爲背景，編制出設計類型的開放題，用於研究性學習，可以培養學生創新精神和實踐能力。第19屆國際數學教育心理會議的公開課問題："在一塊矩形地塊上，欲闢出一部分作爲花壇，要使花壇的面積爲矩形面積的一半，請給出你的設計。"是一道公認的開放題，花圃的圖案形狀沒有規定性的要求，解題者可以進行豐富的想象，充分展示幾何圖形的應用，這種以實際問題爲背景編制的開放題往往有趣而富有吸引力。
將數學開放題作爲數學研究性學習的一種載體，首先必須有適合的問題，如何編制能夠用於研究性學習的開放題，這是值得研究的。在研究性學習的教學實踐中，有充滿活力和創造力的學生的參與，必將促進對這一問題認識的深化和提高。