摘要：數學證明是中學數學教學中的一項重要內容，因而倍受重視。但在數學證明的教學實施中仍有若干問題反覆出現。本文在闡述數學證明和數學證明教學的內涵的基礎上，探討了數學證明教學的實施過程，並分析了數學證明教學中應注意的問題。
關鍵詞：數學證明 數學證明教學 證明教學的實施
1數學證明與數學證明教學的內涵數學
證明是應用已確定其真實性的命題來論證或推出某一命題的思維過程。雖然數學證明的內涵不等同於邏輯推理的內涵，但由於大多數情況下，數學證明往往是以推理的形式出現，因而它直接關係到學生推理論證能力與邏輯思維能力的培養。從認知心理學的觀點來看，可以將數學證明認爲是學生將要證明的問題與認知結構中概念、命題聯繫起來，從已知的條件、概念和命題出發，推匯出新的命題。總的來說，數學證明主要解決存在與不存在、相交與不相交、平行與不平行、垂直與不垂直、相似與不相似、相等與不相等的問題。
數學證明教學是對於尋求、發現和做出證明的思維過程的教學，對學生的學習、邏輯思維能力與推理能力等諸多方面發展具有重要作用。斯托利亞爾曾說過“數學證明的教學是對於思維過程的教學”，他認爲教證明首先意味着教邏輯推理，並將證明教學分爲兩個基本水平：其一，證明中的推理規則呈現不明顯的形式，集中於“證明內容”和“證明方法”兩個問題;
其二，學生會對證明作初步的分析，弄清楚邏輯結構和推理規則。在教學的目的方面，傳統上普遍關注的是學生邏輯思維能力的培養，而面向新世紀的全日制義務教育《數學課程標準》(實驗稿)中指出證明教學關注的主要是證明必要性、證明基本方法和證明過程，而不是所要證明的命題的數量和證明技巧。證明教學目的主要是促進學生理解數學證明方法、發展學生的邏輯思維能力和養成學生嚴謹思考問題的習慣。
2數學證明教學的實施過程
美國的貝爾認爲，學生學習數學要達到兩個目標，一是屬於知識範疇的，稱爲數學教學的直接目標，即：要掌握數學的事實、概念、技能和原理;二是屬於能力範疇的，稱爲數學教學的間接目標，即：要具備證明定理的能力、解決問題的能力、遷移知識的能力、掌握學習方法的能力、獨立探究的能力等。
當代著名認知心理學家安德森將知識劃分爲陳述性知識和程序性知識兩種。其中，陳述性知識是由人們所知道的事實組成，以抽象和意象的形式表現出來，並可以用語言進行交流;程序性知識是由人們所知道的做事技能組成，以具象的形式表現出來，知識的具體內容很難用語言表達。因此，在這兩種知識中，陳述性知識是基於個人有意識的'提取線索而能直接陳述的知識，程序性知識是基於個人沒有有意識的提取線索而是藉助某種作業的形式間接推測。教學生學習數學證明，要首先教給學生基本的概念、原理等陳述性知識，然後再讓學生學會證明的具體步驟、方法、和思路等程序性知識。因此，在進行數學證明教學時，教師要注重傳授陳述性知識，首先要向學生講授證明所需要的概念、定理和法則，在學生準確理解和熟練掌握這些陳述性知識後，再轉入具體證明的教學，向學生傳授程序性知識。
在教學實踐中，教學生數學證明要從三個方面着手：“證明內容”、“證明方法”和“證明過程”。其中，“證明內容”是指所要證明的問題是什麼，要明確認識與要證明的命題有關的定理的內容和條件;“證明方法”是指採取什麼樣的方法才能推得要證明的命題，由哪些已知的命題可以推出要證明的命題或結論;“證明過程”是指如何從已知的前提條件和定理出發，推匯出要證明的命題的步驟和順序。
學生在學習證明問題過程中會遇到兩個方面的問題：一是證明思路不清楚，表達也不清楚;二是證明思路清楚，卻表達不清楚。爲此，要採取措施加以解決。其中，解決“證明思路不清楚的方法”是教師在總結教學內容的基礎上，講解常用的直接證法和間接證法的類型和模式，幫助學生對一些典型題目進行分類、比較，找出證明命題的類型、思路和方法，並在學生運用證明方法的過程中進行啓發、誘導和鼓勵。解決“證明思路清晰，但表達不清楚”需要教師的耐心鼓勵和理解，不能簡單粗暴地對待學生。另外，教師在教學時要充分考慮到他們的心理承受能力和所處的運算階段，引導學生由“具體運算”向“形式運算”過渡，增強學生進行數學形式論證的思維能力。
3數學證明教學中應注意的問題
(1)數學推理證明的基本要求是：推理要合乎邏輯，證明要有說服力。要達到這一目標，在教學中應注意以下幾點：第一，注意推理證明通俗的教學。實踐證明，結合具體教學內容，通俗地講授一些必要的邏輯知識，有助於提高學生的論證能力。第二，注意推理證明規則的教學。爲了達到推理合乎邏輯，證明具有說服力的目的，就應要求學生自覺遵守思維規律和邏輯規則。教學中隨時糾正學生違反推證規則的錯誤。第三，加強分析。證明教學就是分析命題中已知和未知的矛盾，分析矛盾的產生、矛盾的關係、矛盾的運動，從分析中找出解決的辦法。第四，認真練習。掌握推證方法是要有個過程的，養成良好的思維習慣也不是馬上就能達到的，這就需要加強練習。但練習不等於學習，有時候不一定導致學習，對於同一類型的證明題只需適量練習，掌握方法即可，切勿走入題海戰術的誤區。
(2)證明教學的重點應放在結論的推導中，而不應放在結論的證明上。證明教學應該注重對證明方法的理解、對證明過程的講授，而不應追求所證題目的數量以及證明技巧。爲了發展學生對數學的理解，應鼓勵學生透過觀察、實驗、歸納、類比等方法探索規律，提出猜想，然後進行證明。
(3)證明教學應注意學生對於證明模式的積累。學生在完成一個複雜的證明題之後，能夠主動的反思，不但有助於加強對該題的理解，而且還可以與其它類似的題目進行比較、歸納、分類，有助於形成思維定勢。只有讓學生先形成一定的思維定勢，頭腦中儲存有一定的證明模式，才能在實際解題時應用模式，最後達到突破思維定勢的高度。