1問題：數學教學的核
問題是指某個給定過程，對對象認識的當前狀態與智能主體（包括人與機器）所要求的目標狀態之間差距或矛盾的主觀反映，是認知領域的一個範疇。數學起源於解決實際生活中的應用問題，而層出不窮的問題推動數學發展，所以問題是數學的心臟，這已經成爲人們對數學本質的深刻認識。在數學教學過程中，教師圍繞着“提出問題、研究問題、求解問題”而進行，衡量數學學習效果也是透過解決數學問題的水平來評價的，因此問題也就成爲數學教學的核心。問題的本質是認識主體從未知到已知的過渡形式或中介環節，是已知與未知的統一體；問題的功能是有助於知識的瞭解與掌握、理解與應用、調節與評價、教育與發展。由此可見，問題是引導研究的，尋找與發現問題是獲得數學發現（特指發現已有真命題）和數學思維發展的基本方法之一。
2“問題鏈”：數學知識的表現形式
“問題鏈”是指面對數學問題，不斷探索發展規律、尋找新的聯繫、論證其真實性，找到具有內在聯繫的若干問題的組合。對數學學習者而言，數學知識的內部結構是一個縱橫交錯的“問題鏈”結構，如由羅爾定理到拉格朗日中值定理，到柯西中值定理，再到泰勒中值定理，由牛頓一萊布尼茲公式到格林公式，到魏爾斯特拉斯公式，再到高斯公式，均是數學分析中典型的“問題鏈”的知識結構。
對於目前高校大規模招生的現狀，高師數學專業（特別是專科專業）學生的數學基礎知識相對比較薄弱，而數學分析課程從知識內容、邏輯體系、系統構造等方向都非常抽象、嚴密，如果教師僅僅開展“因爲……,所以……”的命題結構進行解決，學生就難以接受教師傳遞的資訊，也無法使“知識邏輯”與“認知邏輯”之間引發內部的矛盾衝突，造成原有數學知識結構與新的數學知識不能很好地融合在一起。所以，我們必須要對問題（命題）進行拆解，尋求它與橫向或縱向知識有聯繫的若干問題，形成一條“問題鏈”，促進學生對新知識形成有完整的認識，提高數學思維能力。
3“問題鏈”的設計原則
數學分析中“問題鏈”設計的好壞直接影響初學者知識結構的形成、思維能力的提高、發現問題的意識、創新意識的培養及身心健康的發展。下面所涉及到的問題都是結合數學分析教學實踐中的若干案例，但是由於本文沒有對它展開證明，而是分析問題鏈的設計原則着手研究的，從而仍然將它們看成問題。
3.1數學化原則
數學化由現實問題到數學問題，由具體問題到抽象概念的認識活動，是人類發現活動在數學領域裏的.具體表現12。極限理論是數學分析課程的基礎，以研究無窮思維爲依據的，運用無限過程的運算解決了實踐中提出的諸多現實問題，以至於它的每一個概念的產生都有其現實背景。由此可見，面對數學分析中的概念、應用等問題，“問題鏈”的設計必須符合數學化原則，提高學生的數學素養，掌握滲透於基礎知識的數學思維方法，並解決實際問題。
例1:關於定積分概念的理解。
問題（1):如何求j=X2(1會)、x軸以及x=1與x=3所圍面積的近似值?
問題（2)求將區間[1，3]作n等分，則曲邊梯形面積的近似值如何求解?
問題（3):求在區間[1，3]內任意插入n一1個分點，則曲邊梯形面積的近似值爲多少？
問題（4):說出求曲邊梯形面積數學化的實質，並解釋定積分概念的定義。
3.2可行性原則
學生是數學學習活動中的認知主體，知識只有在它與認知主體在建構活動中的行爲相沖突或者相順應時才被建構起來的131。由於學生的認知系統是不完全相同的，在設計“問題鏈”時，教師必須研究學生的知識結構與思維發展水平。因此，教師設計的問題不要太深，也不要太淺，應在“原有水平”與“最近發展區”的結合點，讓學生的思維活動具有一定的可操作性，有效激發求知慾望，主動尋找解決問題的策略，領會數學方法，獲得數學活動的體驗。
例2:關於一元函數一致連續的定義證明。
問題⑴:已知f(x)在[a,b]與[bc]上連續，則/(工)在[a,c]是否一致連續?
問題(2):已知/(0在[a,b]與[b，+m)上連續則f()在[a,+m)是否一致連續?
問題(3):已知/(x)[a,+m)連續且Jm=/(x)=b，則/&)在[a,十⑴)是否一致連續？
問題⑷:已知/()[a,+M連續且bx-/(x)]=Qb爲非零常數，貝IJ/()在[a,+^)是否一致連續?3.3層次性原則
人們對於數學問題的認識是一個由淺入深、由易到難的循序漸近過程，因此，“問題鏈”的設計就要遵循這種原則，由淺入深、由易到難、由簡到繁、由已知到未知，依次設計問題，層層推進，逐步展開問題的探究。數學解題思維的表現具有策略、方法、技能三個層次，那麼在處理一個新問題時，往往先要求學生對問題做一個粗略的思考，然後逐步深入到實質與細節。明確地說，首先從策略意義上設計問題，以明確解決問題的總體方向，體現思維的“定向性”；其次從方法意義上提出問題，以確定合適的解決問題的方法，體現思維的“選擇性”；最後從技能意義上提出問題，完成解決問題的運作過程，體現思維的“具體性”。
例3:關於柯西中值定理的證明。
問題（1):設/(工）在[a,b]連續在(a,b)內有二階導數，彐x1G(a,b)且/(a)=/(x)=/(b)，問是否必存在56(a，b)使得/"(5)=0?
問題⑵：設/'(x)在[a,b]上處處存在，/'(a)c
問題(3):設/(x)與g(x))E[a,b]連續，(a,b)可導，且VxG(a,b)有g'(x)#0，問是否存在一點5G(/'5)/(b)-/(a)
(“)，使g^rrg(b)^'g(a)
3.4探索性原則
探索性過程是一種探求未知、側重思維活動的過程。前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基曾說：“人的內心裏有一種根深蒂固的需要一總想自己是發現者、探尋者、研究者。我認爲，不斷扶植和加深學生想成爲發現者的願望，並透過特殊的工作方法去實現這一願望，是一項十分重要的教學任務。”德國戈。海納特說過：“向學生預示結果或解決方法都會阻礙學生去努力研究。”因此，設計“問題鏈”時，對結果應具有一定的隱蔽性，促使學生自己去探究。數學學科的特點決定它是最適合進行探索活動的學科之一，設計問題鏈的本質就是加強數學探究活動的過程，它包括：從觀察數學事實出發，提出問題，探索數學規律，猜測和尋找適當的數學結論，探索解決問題的方法與途徑以及再發現問題4。數學探索強調學生積極思考問題的意識，參與做數學的學習方式，一般不指望學生一定做出完整的結論或產生獨到的創見，而是給學生提供資訊，引向更深層次的問題研究。
例4:關於二重極限與累次極限的聯繫。
3.5模組化原則
模組指內容組織上的單元，具有較強內在聯繫的、共同主題的內容所構成的一個整體15。模組化原則的基本理念是學習者擁有相應內容的知識表徵時，教學中設計的問題所要達到的預期學習結果都致力於共同說明某方面的問題。“問題鏈”設計的模組化，首先有利於整合教學內容，加強內容之間的聯繫與溝通，在學科課程的背景下實現教學內容的綜合化；其次爲結構性的內容與發生性的內容的聯合提供了可能。
例5:關於無窮積分收斂性的判定問題。
以上提出“問題鏈”的設計原則是建立在實踐教學基礎之上的，類同於方法或規律，在實際運用上往往會混合的，以便於更能適應實際的需要。實踐研究發現在這些原則下設計“問題鏈”，能夠提高問題解決的迀移效果，增強數學知識結構的聯繫，學生容易理解數學分析中抽象知識的科學解釋。但是，這些設計原則的結論效度還是有一定的侷限性，這是因爲：一是學習的材料還需要檢驗的過程；二是原則的普通性問題，是否適合於其它課程的教學；三是影響數學問題的意識與數學學習的興趣是多方面的，通常不是獨立起作用的，所以還有必要明確它們相互作用的途徑。