【摘 要】 直線與圓錐曲線所產生的數學問題(如直線與圓錐曲線的位置關係問題,直線與圓錐曲線的相交弦問題等),能從圓錐曲線的本質出發,以代數思維加以歸納分析進行解題,本文將就以上問題的求解過程進行系統的分析、歸納。
【關鍵詞】 圓錐曲線 公共點 韋達定理 相交弦
圓錐曲線包括橢圓、拋物線和雙曲線,透過直角座標系,它們又與二次方程對應,所以,圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一,它們與直線的位置關係的判定,弦長的有關計算、證明等也是高考命題的熱點。現從以上兩方面作出歸納分析。
1 直線與圓錐曲線的位置關係問題
直線與圓錐曲線的位置關係可分爲:相交、相切、相離。由二次曲線的本質,可從它們的方程組解的情況來確定屬哪種關係。由方程組消元后得到形式上的一元二次方程,必須討論二次項的係數是否爲零.若不爲零,再透過判別式△討論根的個數,從而得到直線與圓錐曲線的相交、相切或相離位置關係的判定;若二次項係數爲零,消元后的方程實際上是個一次方程,透過討論它是否有滿足方程組的根,進而得知直線與圓錐曲線相交(方程組有一解)或相離(方程組無解)。操作如下:
1.1 聯立直線方程與曲線方程,得方程組Ax+By+C=0F(x,y)=0
1.2 方程組消去y(或消去x)得到關於x的方程:ax2+bx+c=0(或關於y的方程ax2+bx+c=0)
1.3 判斷第二步中方程的.解的個數。
1.3.1 若a=0,且b=0,則方程無解,此時,直線與圓錐曲線相離。
1.3.2 若a=0,且b≠0,即得一元一次方程bx+c=0,方程僅有一解,此時,直線與圓錐曲線相交。
1.3.3 若a≠0,即得一元二次方程ax2+bx+c=0,其中△=b2-4ac.①△>0?圳方程有兩解?圳直線與圓錐曲線相交於不同兩點;②△=0?圳方程有一解?圳直線與圓錐曲線相切;③△<0?圳方程無解?圳直線與圓錐曲線相離。
值得注意的是:對於拋物線來說,平行或重合於對稱軸的直線與拋物線相交於一點,但並不是相切;對於雙曲線來說,平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點,但並不相切。因此直線與拋物線、雙曲線僅有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件。
例1:直線l過點( ,0)且與雙曲線x2-y2=2僅有一個公共點,這樣的直線有()
A、1條B、2條C、3條D、4條
分析:正確選項是C,除了透過右頂點( ,0)垂直於 x軸的切線x= 外,還應有透過右頂點( ,0)平行於漸近線且斜率爲k±1 的兩條直線。
2 直線與圓錐曲線的相交弦問題
直線與圓錐曲線的相交弦問題往往涉及中點弦、弦長或其它綜合性問題,可利用聯立方程組消元后所得一元二次方程中根與係數關係(韋達定理)對相交弦問題設而不求(如例3)、整體處理。操作如下:
2.1 設線(直線和圓錐曲線的方程)設點(弦端點座標)
2.2 聯立直線方程與圓錐曲線方程,由方程組消元得:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)
2.3 由韋達定理知根與係數的關係:x1+x2=- ,x1x2=- ;且須滿足a≠0△>0
2.4 將題設條件翻譯成關於弦端點的座標條件,然後整體代入韋達定理,從而求出所設參數,最後檢驗是否滿足a≠0△>0.第四步中常常用到下列公式:
弦的斜率:kAB= ;弦中點座標: x0= y0=
弦長公式:AB= ·x1-x2= · = 或AB= ·y1-y2= · =
例2:O爲座標原點,過點P(2,0)且斜率爲k的直線l交拋物線y2=2x於M(x1,y1),N(x2,y2)兩點。①寫出直線l的方程;②求x1x2與y1y2的值;③求證:OM⊥ON.
分析:①已知點P(2,0)且斜率爲k的直線可得方程爲y=k(x-2)k≠0;②聯立直線方程與圓錐曲線方程,消元得:kx2-(4k2+2)x+4k2=0,由韋達定理知根與係數的關係:x1x2= 得x1x2=4;同理,可得y1y2=-4;③證OM⊥ON即證kOM·kON=-1,從題目條件可知:kOM·kON= · ,結合②解可得:kOM·kON= = =-1,從而得證。
另外,解圓錐曲線與弦的中點或中點弦的問題,除利用韋達定理外,也可以運用點差法。
例3:過橢圓 + =1內一點M(2,1)引一條弦,使弦被M點平分,求此弦所在直線的方程。
分析:設弦所在直線的方程爲y-1=k(x-2),其中k待定。
設弦與橢圓的交點爲C(x1,y1)、D(x2,y2),從點M(2,1)平分弦可得:x1+x2=4,y1+y2=2,且點C、點D滿足方程 + =1,得:x+4y=16……①;x+4y=16……②;②-①:x-x+4(y-y)=0;4(x2-x1)+4·2·(y2-y1)=0; = ,即k= 得直線方程x+2y-4=0.
總之,在處理直線與圓錐曲線的相關問題過程中,要加強對基礎知識的綜合運用,重視圓錐曲線是二次曲線的本質,以代數的角度出發將問題轉化爲對一個二元一次方程與二元二次方程組成的方程組的解的研究,如若能數形結合,藉助圖形的幾何性質則更爲簡便。