【摘要】理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一箇中間目的，而不是最終目的。我們強調理解在數學教學與學習過程中的核心作用，不是把理解當作教學最終要實現的目標去追求，而是把它當作一箇中心環節去給予充分的關注，畢竟從某種意義上說，沒有理解就不能有真正意義上的學習，它是對知識進行掌握、應用的前提，也是進行後繼學習的基礎。
【關鍵詞】數學理解本質剖析自主建構 知識網絡
在數學教育界，很多專家和學者提出：學生應該要理解數學。原因何在？因爲數學理解對於學生的數學學習具有非常重要的意義。理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一箇中間目的，而不是最終目的。顯然，我們要求學生學習數學，是希望學生在掌握數學知識的基礎上，能從數學角度去思考問題、理解問題、解決問題，進而鍛鍊思維、培養情感，最終成爲富有創造力的人。所以，我們強調理解在數學教學與學習過程中的核心作用，不是把理解當作教學最終要實現的目標去追求，而是把它當作一箇中心環節去給予充分的關注，畢竟從某種意義上說，沒有理解就不能有真正意義上的學習，它是對知識進行掌握、應用的前提，也是進行後繼學習的基礎。
1數學理解的涵義
關於數學理解，着名數學家希爾伯特等認爲：“一個數學的概念方法或事實被理解了，那麼它就會成爲個人內部網絡的一個部分……理解的程度是由聯繫的數目和強度來確定的。”王光明教授將數學認知理解界定爲“學生在已有數學知識和經驗的基礎上，建立新知識的個人心理表徵，不斷完善和發展頭腦中的知識網絡，並能將納入知識網絡中的新知識靈活地加以提取以解決問題的思維過程。”陳瓊教授認爲：“數學理解是學習者先認識數學對象的外部表徵，構建相應的心理表象，然後在建立新舊知識聯繫的動態過程中，打破原有的認識平衡，將數學對象的心理表象進行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數學對象的本質特徵及規律，從而達到對數學對象的理。”《全日制義務教育階段數學課程標準》實驗稿將理解解釋爲能描述對象的特徵和由來，能明確地闡述此對象與有關對象之間的區別和聯繫。
以上關於數學理解含義的闡述，主要是針對數學學習中的理解而言的，它們可以統稱爲數學認知理解，本文所探討的數學理解即是指數學認知理解。本人認爲數學認知理解是指學習者聯繫自己已有的知識和經驗，透過數學學習活動，認識數學學習對象的外部表徵，並構建相應的心理表象，然後經過思維加工，打破原有的認知平衡，將數學對象的心理表象重新加以解釋，重新建構其意義，從而把新的學習內容納入已有的認知結構，逐步認識數學對象的本質特徵和規律的一種思維活動。
2促進小學生數學認知理解的策略
數學教師要注重學生的認知理解，但“工欲善其事，必先利其器”，爲了促進學生的數學認知理解，就必須採用有效的教學策略。
2.1注重提供典型的感性材料，促進數學概念的獲得
在新知教學中，爲使學生建立起清晰的表象，要藉助直觀手段向學生提供豐富而典型的感性材料。
例如在教學《認識周長》時，老師用多媒體演示螞蟻、瓢蟲、蟋蟀三種小動物在樹葉上的鍛鍊情景（螞蟻、瓢蟲沿着樹葉邊線運動，蟋蟀沿着樹葉中間的莖運動；其中瓢蟲跑完一週，而螞蟻沒有跑完一週）。然後引導學生“邊欣賞邊觀察這些小動物的運動路線有什麼不同”，並對小動物運動的`路線進行分類，周長概念的引入便自然和諧。在這樣有典型具體材料做支撐點的學習中，學生們學習熱情高漲，勁頭十足，對周長概念的印象非常深刻。
2.2注重聯繫具體的生活原形，促進數學概念的形成
一位教育學家說過：“任何數學概念都可以在現實生活找到它的原型，這樣看來，豐富多彩的現實世界應當是學生學習數學的背景。”課堂教學要從學生喜聞樂見的生活情境出發，使抽象的數學學習變得具體形象起來，把原來枯燥的數學變的生動起來，這樣學習學生就不會感到抽象，而且容易形成生動活潑的學習氣氛。
例如，平行線概念的教學，讓學生辨認一些熟悉的實例，像操場跑道直道、窗框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣、五線譜譜線等，喚起筆直的直跑道線、窗框的上下兩條邊等學生熟悉的事物的表象。然後設問：如果把這兩條跑道線都向兩端無限延長，它們會相交嗎？這兩條窗框的上下兩條邊、兩根譜線呢？透過比較可以發現，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點等，最後抽象出本質屬性，得到平行線的定義。這樣引入，使學生已有的生活經驗成爲學習新知的基礎，並藉助於想象活動，較好地解決學生因抽象思維能力較低而造成的學習障礙。
2.3注重數學知識本質的剖析，促進數學知識的真正理解
數學知識在其形成過程中，往往附帶着許多無關特徵。因此教學中應抓住重點，引導學生剖析關鍵詞語的真實含義，從而把握知識的實質，儘量減少不利因素的干擾。例如教學《認識周長》時，學生只有對周長概念中的“邊線”、”一週”、”長度”等關鍵詞語的真實含義弄清了，纔會對周長這個概念有深刻的理解。
如何在教學中剖析數學知識的本質呢？一是狠抓關鍵詞。小學數學中很多數學概念往往是由若干個詞或詞組組成的定義。這些數學語言表述精確，結構嚴謹，對這一類事物的本質屬性作了明確的闡述。在教學時就要緊緊“抓”住這些本質的東西不放，讓學生建立起正確的概念。如平行線的定義是“同一平面內不相交的兩條直線”，在學習這一概念時，就應抓住“同一平面內”、“不相交”和“兩條直線”這幾個關鍵詞不放，引導學生想一想，如果概念中的關鍵詞去掉一個後，會發生什麼變化。如平行線的定義中去掉“在同一平面內”，學生便發現會產生圖1的情形；去掉“不相交”就會產生圖2的情形；去掉“兩條直線”中的“直”字，就會產生圖3的情形，
顯然，這些都不是平行線。從而讓學生明確成爲平行線的三個基本要點，加深對平行線意義的理解。二是巧用變式。就是不斷地變換所提供的事例或材料的呈現形式，改變非本質屬性，使學生透過現象看本質，使概念的本質屬性更加突出，達到化難爲易的效果，由此幫助學生準確形成概念。如在三角形的高概念教學中，透過不同形態（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）、不同位置的三角形的底和高進行比較，就可以幫助學生分清哪些屬於三角形高的本質屬性，從而準確地理解三角形高的概念。三是加強對比辨析。加強對比辨析、舉反例等進行概念教學是行之有效的方法。例如在教學“二分之一”這個概念時，出示大小不同的一個圓形和一個長方形，要求學生分別用塗色部分表示它的二分之一。教師接着提問：“塗色部分的大小、形狀都不一樣，爲什麼都用“二分之一”這個數表示？”學生透過比較辨析的方法深化了這個概念。學生說：“陰影部分都表示這個圖形的一半，所以用二分之一表示。” 又如教學射線、直線這兩個概念後，老師提問：“小衚衕學認爲，在一條直線上任意點一個點，就得到了兩條射線，因此，直線比射線長。”你同意他的觀點嗎？透過辨析，同學們清晰地認識到直線和射線都是無限長的，他們之間是不能比長短的。設計對比辨析，泛化現象就不會發生，同時概念也得到進一步深化。
新課程的數學教材，在注重數學本質的同時，對一些概念的定義、法則等適當地作了淡化處理。但這並不是不重視概念的教學了，而是爲了使學生更好地領悟概念，真正理解概念，體會數學的本質。從這個意義上說，適當的“淡化”是爲了真正的“強化”。
2.4注重經歷新知的形成過程，促進學生自主建構知識
學習是學生主動建構知識的過程，學生不是簡單被動地接受資訊，而是對外部資訊進行主動選擇、加工和處理，從而獲得知識的意義。小學數學教學的核心環節就是給學生足夠的、充分的時間和空間，讓學生經歷數學新知的形成過程。同時學習的過程是自我生成的過程，這種生成是他人無法取代的，是由內向外的生長，而不是由外向內的灌輸，教師的任務主要是在師生、生生的互動中幫助學生自己建構知識，而不是把前人的知識宣講給學生。有一種說法：一個好的教師應該是一個建材超市的經理，爲學生提供各種建築材料，然後讓學生自己動手去建造自己的房屋。而不是一個房地產的經紀人，把蓋好的房子賣（教）給學生。因此在教學中要着重引導學生經歷觀察、操作實踐、猜測、判斷、歸納、類比、交流等數學活動，充分體現出概念本質特徵的形成過程，體驗概念“再創造”的過程。
如循環小數的認識，首先，透過大自然中日出日落、春夏秋冬四季輪換等現象感悟“依次不斷”、“重複出現”等“循環”的特徵，然後讓學生進行10÷3和58.6÷11的計算。當學生怎樣計算都除不完而產生疑問時，再引導學生觀察每次除得的商和餘數，並讓學生思考：當餘數重複出現時，商會怎樣變化呢？隨後，透過交流研討，從而自主建構循環小數的意義。
2.5注重知識的靈活運用，促進對數學知識深層次的理解
數學概念在學生頭腦中建立後，要抓住時機，及時地多角度多層次地進行練習。練習的針對性要強，覆蓋面要廣，要涉及到概念所有的外延。
如在認識平行線概念後，可讓學生舉例說說生活中哪些物體表面有平行線，這類練習既加深了學生對平行線的認識，又能令所學知識運用到生活實際中，拓寬學生的視野，加強學生對所學知識的實際運用能力；還可以安排判斷練習，下面圖形中，哪些是平行線？哪些不是平行線？爲什麼？學生不難找出哪個是哪個不是，但關鍵是要學生說清楚“爲什麼”，這是學生對平行線概念的再認識，能加深理解和鞏固記憶；再可安排找平行線活動，出示長方體模型，讓學生找一找哪些是平行線？當學生指出長方體相對兩個面的對角線是平行線時，引導學生討論，同不同意這觀點，學生爭辯的焦點是這兩條直線在不在同一平面內，這時，教師藉助多媒體演示，使大家清楚地看到這兩條直線在新創設的同一個斜面內，完全符合平行線的定義，在問題到圓滿解決的同時，學生對平行線的定義就有了進一步的認識。
“理解是一種運用所學知識靈活地思考與行動的能力……也是一種與機械背誦與固守答案相反地實踐能力。”（Wiske 1977）爲此，教學中除了要重視加強數學知識的一般應用外，尤其要加強知識在新環境中的運用，如學習了長、正方形的周長後，可以讓學生計算若干個小正方形拼成的長方形的周長，以提高使學生初步學會運用所學的數學知識解決一些簡單的實際問題能力，進而能夠在實踐中主動體驗教學的價值與魅力。
2.6促進數學知識的系統化，建立良好的知識網絡結構
建構主義學習觀一再強調：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味着學習者所獲得的知識是結構化的、整合的，而不是零碎的、隻言片語的。教學到了一定階段，要讓學生找出知識間的縱向與橫向聯繫，組成知識系統，穿線結網，轉化成學生頭腦中的認知結構，這種系統的認知結構不僅有利於知識的鞏固、深化，也有利於知識的檢索、提取和運用，促進學生知識的遷移，發展學生的數學能力。
例如， 在學生掌握了三角形、梯形等面積公式的推導以後，教師提出既然梯形的面積公式可以從多種圖形的面積公式推導而來，那麼梯形面積公式與這些圖形面積公式之間有什麼聯繫呢？教師運用電子白板演示：1.將梯形上底一個端點向右一側平着拉伸，使之成爲一個平行四邊形，這時上底與下底相等，（上底+下底）×高÷2=底×2÷高×2=底×高，即得到了平行四邊形面積計算公式了；2.將梯形下底兩個端點向中間縮，使之成爲一個長方形，這時梯形的上、下底就變成了長方形的長，高變成了寬，（上底+下底）×高÷2=（長+長）×寬÷2=長×寬，即得到了長方形的面積計算公式；3.將梯形上底逐漸縮短，最後縮成一個點，即上底爲0，這時梯形面積就轉化成了三角形的面積公式。使學生很直觀地瞭解這些計算公式之間的內在聯繫，幫助學生從整體把握知識結構，從而加深對數學的理解。
總之，數學認知理解是數學學習的關鍵，教師要善於創設寬鬆的學習環境，提供豐富的學習材料，激發學生主動參與數學活動，引導學生經歷知識的“再創造”過程，引導學生自主建構自己的知識體系，並靈活應用知識，形成對數學知識的深刻理解，不斷提高數數學素養。
【參考文獻】
［1］《學會數學地思維》 江蘇教育出版社 2001.8
［2］《數學方法論入門》 浙江教育出版社 2006年版
［3］《爲深層次理解而教》《江蘇教育》2008.12
［4］《數學理解之面面觀》華東師範大學課程與教學研究所博士生