數學與發現篇一：淺談理解數學發現數學
理解數學發現數學
——新課程下初中數學小論文的指導與思考
摘要：新課程注重學生對知識的理解，對學生能力的培養、注重學生與社會生活之間的聯繫，撰寫數學小論文就是一個很有效的方式。在撰寫過程中，學生透過回顧自己所學的知識，發現生活中的數學問題，記敘自己理解知識的方式，尋找學習成功或失敗的原因。從而加深了對知識的理解和應用，最終促進數學學習能力的培養。
關鍵詞：數學小論文理解應用能力培養
爲了激發學生學習數學的興趣，培養學生探索精神，推進“數學家搖籃”工程建設，溫州市連續三年舉辦了初中學生數學小論文比賽活動。引導學生寫小論文，就是讓學生在學會觀察、學會小結、學會研究的過程中“再發現”，加深了學生對知識的理解，對思維方式的優化。如何指導學生撰寫初中數學小論文，是擺在數學老師面前的新任務，下面我就結合自己的實踐經驗和參考他人的指導作品，對如何指導學生撰寫初中數學小論文談談自己的一些見解。
1、數學小論文選材的途徑
要撰寫數學小論文，學生自然先會想寫什麼內容呢？所以選材是關鍵。通常，我們從以下幾個方面來選取數學小論文的素材。
1.1從課堂學習中選材
課堂是學生學習數學知識的主要陣地。學生在課堂學習時經常會存有某種困惑疑問、精神上的迷茫，在學習之後又有某些新發現、新見解，我們可以指導學生學會捕捉課堂中的靈光閃現，學會捕捉自己的再發現、再拓展、再歸納，把它們及時的記錄下來，在課後進行研究，把探究過程中的猜想、嘗試、總結整理起來就是一篇小論文了。
也可以讓學生記錄自己對數學知識的理解或對某個章節整理後的感悟；對解法的選擇，對解題思路的闡釋，解題過程中運用的思想方法；表達對他人解題思路的看法，對他人解題方法的認可度，提出與他人不同的解題方法，或對他人學習數學某個知識點的建議意見等等。
比如可以讓學生寫以下內容的論文①由一道
垂足三角形題引發的思考；②小定義中的大智慧－－方差背後的奧妙；③周長和麪積倍半圖形存在性的研究；④探索圓的黃金分割；⑤對平行四邊形判定的研究；⑥緣起“6174”之謎－－探究“數字黑洞”；⑦巧用一題論初中幾何常見證法；⑧探討多邊形的穩定性；⑨巧作輔助線，妙解梯形題；⑩高手過招－－詭辯題中見數學嚴謹性等。
1.2從日常生活中選材
生活離不開數學,數學離不開生活。數學知識源於生活而最終服務於生活。可見數學與日常生活具有緊密的聯繫，是人們生活、工作和學習必不可少的工具，能夠幫助人們更好的探索客觀世界，尋找客觀規律。比如：計算水電費、計算手機電話費問題、稅款的交付問題、利潤與成本的比較以及商業往來中的時間安排、人員分配、資金運用等問題，都與數學有關。它不僅包括數、式的運算，還包括推理、分析、判斷、選擇、估算、統計、繪製圖表、數據分析、及空間與圖形、優化方案等諸多方面，蘊涵着豐富的數學思想和方法。
因此，教師要培養學生樹立數學生活化的觀念。要指導學生善於發現，挖掘生活中的數學問題。比如與日常生活有關的素材有①手機收費“全球通88系列套餐”選擇的分析；②“優惠酬賓”之最佳購買趣探；③小動作大作用－－談改裝後抽水馬桶的節能；④車輛保險與最優方案；⑤安全疏散模型——數學在生活的應用；⑥體育運動與二次函數的親密接觸；⑦出操與數學；⑧飲用水的選擇；⑨峯谷電合算不合算？⑩紅綠燈的時間合理嗎？等。
1.3從問題探究中選材
亞里士多德有句名言：“思維是從疑問和驚奇開始的。常有疑點，常有問題。才能常有思考，常有創新。”問題是科學研究的出發點，是探究式學習的起點，是開啓任何一門科學的鑰匙。科學史上的每次重大發現也都是從問題開始的，牛頓的萬有引力是從“蘋果爲什麼會落地”開始的。青黴素的發現是弗萊明從“黴菌菌落爲什麼周圍不長細菌”這個問題開始的。在很多問題的解決過程中都得藉助數學這門學科，數學可以有效地描述自然現象和社會現象。
教師可以指導學生選取日常生活中發現的、符合要求的問題進行探究，把它作爲小論文的素材，既有利於培養學生的數學應用意識和探究能力，又有利於培養學生的社會責任感。比如可以讓學生選取以下內容進行探究①探究使用煤氣竈
的數學問題；②紙板“糊”紙盒問題的探究；③生活中的概率之探究；④教室日光燈應如何排列更合理；⑤怎樣的裝填使得紙箱的空間利用率高；⑥茶杯蓋爲什麼是圓的？⑦探索網購的祕密；⑧探究黃魚的價格；⑨探索測量樓高的方法；⑩探索博弈之謎等。
1.4從數學史料中選材
《新課標》指出：“在課外活動小組中，教師還可以向學生提供一些閱讀材料，內容可以包括數學在生活中的應用，趣味數學、數學史和數學家的故事、擴展性知識等，用來拓寬學生的學習領域，激發學生學習數學的興趣。”英國的科學家丹皮爾（ier）也說過：“再也沒有什麼比科學思想發展的故事更有魅力了。”數學史涉及的內容比較豐富，資料浩瀚，年代久遠。它不僅是單純的數學成就的歷史記錄，也是數學家克服困難和戰勝危機的鬥爭記錄。無理數的發現，勾股定理的證明，方程函數的發展等，在數學史上數不勝數，它們可以幫助學生了解數學創造的真實過程，而這種過程在書本中只是以定理公式的形式出現。
因此在教學中學到相關章節時，教師提供主題——學生分組收集資料——課堂交流。交流材料就可以整理起來成爲小論文。比如①勾股定理新發現；②關於作費馬點的思考；③斯特瓦爾定理引伸；④有趣德謝爾賓斯基地毯；⑤圓周率的歷史；⑥正負數和無理數的歷史；⑦函數概念的起源、發展與演變；⑧美麗的黃金分割；⑨哥尼斯堡七橋問題；⑩古希臘和中國的割圓術等。
2、數學小論文的步驟
除了選材之外，其他環節也比較重要，我把指導的過程分爲五個步驟進行：“選材——研究——撰寫——修改——定稿”。
選材，就是選取小論文的素材，指導學生學會捕捉課堂上的再發現、再拓展、再歸納，學會從日常生活中、從問題探究中、從數學史料中收集素材；研究，學生根據自己的學習情況選擇各自的數學小論文的素材，猜想、嘗試、探究；撰寫，就是將自己的研究過程記錄下來，寫成一篇小論文；修改，把自己寫好的小論文經過教師的指導或與同學之間互相交流、合作、討論或自己再探討再修正，不斷提升數學小論文的科學性、可讀性、嚴謹性。這裏指的修改不是語文作文的修改，它不僅要着眼於寫字、詞彙表達、文章結構，更要着重於對數學問題的再發現、
再嘗試、再探究；定稿，把撰寫的小論文在全班面前展示，看是否還存有爭議，並最終確定下來。
3、數學小論文的類型
經過近兩年的研究實踐，我覺得可以把學生寫的數學小論文分爲以下幾種類型。
3.1問題探究型
問題探究型小論文，就是學生從社會現象、日常生活中選取存有疑惑的，有意義的問題進行探究並最終解決了實際問題，把自主探索過程中步驟、方法、結果以論文的形式記錄下來。如王亦塵同學撰寫的《使用煤氣竈的數學問題》摘要（選自《學生時代》）：
實驗目的：（1）煤氣耗量與煤氣竈電子打火開關旋鈕的開度有無定量關係，是何
種關係。
（2）旋鈕通常在什麼開度下，煤氣耗量最省。
（3）如何正確使用煤氣竈。
實驗器具：煤氣表、煤氣竈、燒鍋、量水瓶、秒錶、溫度計、溫度計支架操作過程：（1）鍋竈預熱。在鍋中假如適量自來水，燒開後倒淨。
（2）將水倒入鍋中，讀取並記錄煤氣表讀數，點燃煤氣到某開度按下秒錶。
（3）水溫到100℃停止加熱，按停秒錶，記錄煤氣表讀數和加熱時間。
（4）開度依次增加15°，重複步驟（2）（3）
實驗結論：
（1）在相同條件下煮沸相同量的水，煤氣耗量與煤氣點火旋鈕開度有確定的定量關係。當旋鈕開度爲105°時，燒開1650毫升的水所耗用的煤氣量最多17升；此時煤氣流量也最大爲0.06升/秒。
（2）實驗表明，30°～45°和135°～150°煤氣耗量最少，是最佳開度。
（3）實驗表明，在相同條件下煮開1650毫升的水，煤氣耗量的最大值比最小值多9升，比相對應的9次實驗耗量煤氣的平均值（約11.2升）多約80%，由此可見，減小煤氣流量，適當延長加熱時間，可以收到顯著的節氣效果。
3.2方法羅列型
方法羅列型小論文，就是學生把自己在數學學習中自己想到的，從他人身上
學到的各種解題思路、解題方法，或各種題目類型一一羅列出來，供大家參考與探討。如鄭錚同學撰寫的《勾股之妙——探究證明勾股定理的幾種方法》摘要：
數學家趙爽的證明方法（圖1
）：c2=（b-a）2+4×1/2ab即a2+b2=c2；面積法1（圖2）：4×1/2ab+c=(a+b)即a+b=c；
面積法2（圖3）：(a+b)2÷2=2×1/2ab+1/2c2即a2+b2=c2；
面積法3（圖4）：甲的面積＝乙的面積＋丙的面積，即c2＝a2＋b222222
面積法4（圖5）：SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即c2=a2+b2．
相加全等法（圖6）:邊長爲b的正方形面積+邊長爲a的正方形=邊長爲c的正方形的面積，即a2+b2=c2
相減全等法(圖7)：S區域1+S區域2+S區域3=S區域4+S區域5+S區域6即c2-b2=a2相似法（圖8）：∵c/b=b/m，c/a=a/n,∴cm=b2cn=a2即a2+b2=c2
3.3總結反思型
總結反思型小論文，就是學生在學習了一些知識之後對其題目特徵、解題思路、解題途徑等方面進行總結並反思，產生自己獨特的見解，優化的思想方法，並最終對知識進行再次建構。如劉露露同學撰寫的《小小的整理大大的收穫》摘要：
有理數的加法要點：①：同號兩數相加，取與加數相同的符號，並把絕對值相加。②：異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。③：互爲相反數的兩數相加其和爲零。④：一個數同零相加，仍得這個數。
數學與發現篇二：數學探究與發現方法
第一章數學探究與發現方法
第一觀察與聯想
第二節：
看一看??實驗??想一想?試一試（特殊）?
一．實驗的含義
二．實驗的作用：
①有利於發現結論
②把抽象問題化爲形象的
③有助於解題
三．應用舉例
1?1.x2?ax?1?0對x???0,?恆成立，則a的最小值是（）?2?
A.?3B.?C.?2D.?1
2.求方程xy?3x?5y?3的正整數解
3.設x?R且x2?3x?1?0試確定x2?x?2(n?N?)的個位數字
4.設a,b,c,d均爲正整數，且a?b?c?d,???1
a1b1c1?1，求a,b,c,d的值dnn52
5.將1到9這九個數字分別填在九格圖中，每格填一個數字，要求每一行，每一列和兩條對角線上的數字之和均等於15
第三節：類比
一．類比的含義
二．類比的應用
1.有助於發現新的命題
2.有助於探索解題思路
3.有助於掌握知識
三．類比的方法
1.低維與高維的類比
2.數與形的類比
3.一般與特殊的類比
4.有限與無限的類比
四．應用舉例
1.由勾股定理引起的聯想，並判斷猜想的正誤
2.試將餘弦定理推廣到三維情形
3.已知a,b,c均爲正數，且a2?b2?c2，求證：an?bn?cn(n?3且n?N)
4.（1）平面中直線方程與空間中平面方程的類比
（2）平面中與空間中兩點間距離公式的類比
（3）平面中點到直線的距離公式與空間中點到直線的距離公式的類比
（4）三角形面積公式與扇形面積公式的類比
（5）圓心方程與球面方程的類比
（6）S圓與S圓內接正n邊形的類比
5.由“在同一個三角形中，任意兩邊之和大於第三邊”引起聯想
6.由“ha?hb?hc?a?b?c，其中ha,hb,hc分別是三角形三邊上的高”
提出猜想並判斷正誤
7.數列?an?中，a1?,a?n1?an?1(n?2)求an的通項公式1?an?1
第四節：特殊化
一．特殊化的含義
二．特殊化的作用與侷限性
三．應用舉例
1.（1）對弈故事（2）取棋子游戲
2.設等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?y?a在實數範圍內成立，其中
3x2?xy?y2的值是（）a,x,y是兩兩不等的實數，則22x?xy?y
A.15B.3C.2D.33
3.設m,n爲任意實數，試在平面上找出這樣的點，它位於方程x2?y2?2mx?2ny?4(m?n?2)?0所表示的.曲線系的每一曲線上4.a,b,c爲ΔABC的三邊，且cn?an?bn(n?N且n?2)，試判斷ΔABC的形狀
5.證明：f(x)?
該常數
6.y??x2?2ax(0?x?1)的最大值爲a2，則a的取值範圍爲（）
A.?0,1?B.?0,2?C.??2,0?D.??1,0?(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)恆爲常數，並求出??(b?c)(c?a)(c?a)(a?b)(a?b)(b?c)?
第五節：一般化方法（構造n）
一．一般化方法的含義
二．一般化方法的作用：
幫助解題，擴大解題成果
三．一般化與特殊化的關係
四．一般化方法的應用
1.比較大小
（1）9991997與1997!
（2）20092010與20102009
2.20022002?2003?2002?20032003?__________3.2004?2003?2002?2001?1?__________
4.求證：4?62009?52009?4能被5整除
5.證明：2009可以表示成兩個數的平方差
6.解方程x2?10x?80?x2?103x?80?20
第六節：化歸
一．化歸的基本思想：
它是簡化和歸結的簡稱，即將待解決的問題A透過某種手段，轉化歸結爲另一個問題B，而B是相對較容易解決的問題或已有固定解決程式的問題。透過B的解決從而可得到A的解決。
二．應用舉例
1.帽子游戲，曹衝稱象，司馬光砸缸
2.“三人行必有吾師”，100人行，吾師至少有幾人？
3.100人蔘加乒乓球淘汰賽，選出一位冠軍，需要打多少場比賽？
4.邊長爲2的正方形內，任意放置五個點，求證：其中必存在兩個點，它們之間的距離不大於2
5.寫出數列1,11,111,1111?????的一個通項公式
6.在數列?an?中a1?1,an?1?3an?4求通項an
第七節：化歸應遵循的原則（和諧統一原則）一．
1.化歸目標簡單化原則
2.和諧統一性原則
3.具體化原則
4.低層次化原則
5.標準形式化原則
二．應用舉例
1.解方程e3x?e?3x?ex?e?x?28x3?0
2.在ΔABC中，若sinA?sinB，則一定有a?b嗎？
3.比較大小
（１）230與320（２）68與86（３）0.80.3與0.60.7４.設x,y?R，且x?y?2，求f(x,y)?x2?y2?x2?y2?4x?4y?8的最小值
數學與發現篇三：從生活中發現數學
從生活中發現數學
天台崗小學楊華璐沒有生活做中心的教育是死的教育，沒有生活做中心的學校是死的學校，沒有生活做中心的書本是死的書本。陶行知的觀點讓我們同時聯想到了生活與數學學習的聯繫，只有讓學生聯繫生活去感受數學、學習數學、應用數學，用數學的眼光去看待生活，才能讓學生真正體會到數學就在他們身邊，體會到數學的魅力無邊。
數學源於生活，數學植根於生活，生活中處處有數學，數學蘊藏在生活中的每個角落。以生活實踐爲依託，將生活經驗數學化。是解決生活問題的鑰匙，數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具。因此，數學都能在生活中找到其產生的蹤跡。
一、數學源於生活
引導學生從生活中發現數學問題，理解數學和感受數學，都是數學源於生活的具體化。
1、在備課時，都會創設一定的情景
數學教師在設計當天的備課內容時，都會創設一定的生活情景引入課題。所以，我們在設計備課教案時必須融入生活的元素，例如：在教授百分數的意義時，我看到黃愛華老師利用的就是自己喝酒的例子，有三種酒：白酒酒精度58%，啤酒酒精度3.1%，紹興黃酒的酒精度38%。如果黃老師不想在這次應酬中喝醉，那麼應該選擇什麼樣的就來喝？
這樣的問題貼近學生的生活實際，學生容易回答，個個躍躍欲試，急於表達。一開課，就讓學生體會到了數學的價值與魅力。
2、從創設情景中適時提出關鍵問題，並適時作出總結
數學的一個重要特點是具有抽象性。而數學內容的抽象性又是透過學生對生活內容經過提煉後最終形成的，一些抽象的數學知識都可以在生活中找到原型，所以從生活中學習數學更容易使學生接受和理解。例如，剛纔的這類問題孩子們肯定從生活中有很多的經驗可以說明：
生：從這些百分數中很容易比較出白酒酒精的含量比較高的。因爲百分數的分母都是100，只要比較這三個百分數的分子就可以了。
生：我認爲百分數最大的好處就是，它們的分母都是100，便於比較。
從而老師立即問出：這個52%的分母100表示什麼，分子52又表示什麼呢？
生：分母100表示100毫升。
生：不對！一瓶酒通常是500毫升。分母100表示把瀘州老窖酒的總數量看成100份，分子52表示其中的純酒精佔52份，這樣更容易理解。
之後老師總結：我贊成這位同學的看法。我們把不同的三種酒都看成100份，來比較每種酒中純酒精佔多少份，就很容易比較哪種酒比較厲害。同學們注意觀察，在生活中，每種酒的標籤上都標有表示這種酒的酒精度的百分數。這時，從一問一總結的情景下，孩子們對百分數的意義也有了大致的瞭解。
二、數學植根於生活
生活是最好的老師，當我們的思想遇到阻礙，無法前進時，生活的經驗常常給我們以指引，讓我們有柳暗花明又一村的感覺。數學學習也是這樣，例如：在教學《小數的基本性質》時，有這樣一個片段：
師：（板書0.1與0.10兩個小數）這兩個小數看上去有什麼相同與不同的地方？生1：兩個小數的整數部分和小數部分的十分位都相同。
生2：0.10比0.1後面多了一個0。
生3：0.1比0.10後面少了一個0。
師：這兩個小數形式上很相似，他們的大小有什麼關係呢？猜猜看？
生4：一樣大。
生5：0.10大。
師：光猜想不說理由有時是很不可靠的。現在，有着相同觀點的同學可以組織在一起想辦法驗證一下你的觀點，如果你有充分理由認爲你的觀點是正確的，再想辦法說服與你觀點不同的同學。
小組1代表：我們是這樣想的，0.1元是1角錢，0.10元是10分錢，也是1角錢，0.1元和0.10元相等，0.1與0.10也應該是一樣大的。
小組2代表：0.1米是1分米，0.10米也是1分米，它們相等。（小組成員補充：也就是0.10與0.1相等）
小組3代表：原來我們認爲10比1大，0.10就應該比0.1大，後來我們畫了圖知道了十個小格和一個大格是一樣大的。0.10與0.1一樣大。
0.1和0.10爲什麼是一樣大的？我們可以藉助小數的意義用分數的知識來說明（即小組3的觀點），但是小組1和小組2的同學藉助生活中0.1元等於0.10元，0.1米等於0.10米的經驗來說明，更容易觸活小學生具體形象性特徵的思維細胞，讓學生容易理解接受，生活讓數學學習不再高深莫測。
三、生活中處處有數學
在生活中我們有很多的問題都需要用數學知識去解決，比如我們常見的商場打折問題，公園門票問題，打出租車問題等在數學的各類解決問題中都有這樣的內容，很多都是要靠學生的生活經歷來加以思考過程的，例如
：公園只售兩種門票：個人票每張5元，10人一張的團體票每張30元，購買5張以上團體票者可優惠10/100。我們有37人去公園遊玩，按以上規定買票，你認爲怎樣買最合算？這樣的題目可能會想出多種方法：
方法1：按每張5元購買，要花5×37=185元；
方法2：採用買3張團體票，再買7張個人票，一共要花3×30＋5×7=125(元);方法3：買4張團體票，只花30×4=120(元);
方法4：買票時請3位其他遊客參與我們來一起買團體票，然後讓他們各自出3元錢，我們只花30×4－3×3=111(元);
方法5：邀請13位其他遊客參與我們來一起買票，我班只花30×5×9/10－3×13×9/10≈100(元)，這樣我們合算，他們13位遊客也合算。
所以，我們教師在教學中仍然要強調要讓學生多接觸生活中的點點滴滴，要讓學生在家長的陪同下，多接觸平時家裏的開支，和買東西、賣東西的過程。而我在對於自己教學的班級也明確提出了要讓學生接觸更多生活實踐的問題，比如：讓孩子陪同家長一起去超市購買東西，讓孩子和家長一起外出旅行計算開支，讓孩子清楚明白家裏一個月的水、電、氣的用量，從而計算開支的問題。在這樣的總總措施下，學生對於自己身邊經歷過的數學問題在以後的學習中也有所頓悟。當然再來，我認爲讓學生記錄數學日記也是一種不錯的想法。例如，學生在面對自己所遇到的數學問題，透過記錄日記的方式把它記錄下來，並且加以自己的一些想法，還可以記錄下一些從家長和老師詢問後的結果，這樣能夠幫助學生更好的理解數學問題，印象應該比老師在課堂上講的內容會更爲深刻。
所以，生活是數學的源泉，離開了生活，數學就如同水失去了源泉一般，更如同水失去了動力一般，最終變成一潭死水。只有在基於生活的基礎上的學習和運動數學，才能使它煥發生機，長出更多更新的枝葉，開出更美麗的數學之花！