數學學習的抽象性和邏輯性

抽象性是任何一門科學均具有的共性。然而，數學的抽象和其他自然科學不一樣。在數學的抽象中，僅僅保留了對象的量的特徵，而完全捨棄了它們的質的內容。而且其抽象程序遠遠超過了自然科學中的一般抽象。例如對於自然數的認識：1，2，3，…，101，102，103，…，1001，1002，1003，…無限制地繼續下去時，相應的數距我們越來越遠。很遠很遠的大數是決不可能由真實事物中直接抽象出來的，而只能依靠人的想象。這種想象的數，實際上是人的思維的產物，把它看成是一種“理想元素”。類似地直線的無限性，極限，有理數的稠密性，實數的連續性等概念，也都是理性思維的結果，不可能直接爲人們所感知。然而，實踐是檢驗真理的.標準，隨着科學的發展和人們認識的深入，到了19世紀，高斯給出了複數（虛數）的幾何表示，幫助人們直觀地理解了它的真實意義，隨後又在流體力學中得到了應用。在數學和其他科學中複數日益起着不可估量的作用，在19世紀中葉以後遂發展成一個龐大的數學分支——複變函數論。
由此可見，理想元素對數學及科學實踐所起的積極作用。一般說來，隨着數學的發展，理想元素在數學中佔據着越來越重要的位置。正如數學史家M.克萊因所指出：1700年以後，越來越多的、更遠離自然界的、從人的腦子中源源不斷地涌出的概念，進入了數學。它們逐漸取代了那些“直接觀念性”的概念，並在數學中佔據了主導的地位。列寧曾指出：幻想是極其可貴的品質，有人認爲，只有詩人才需要幻想，這是沒有理由的，這是愚蠢的偏見！甚至在數學上也需要幻想的，甚至沒有它就不可能發明微積分。由於數學研究對象的抽象性，就決定了數學學習的抽象思維特徵，這種抽象性，當尚未熟悉它的思維方法時，似乎感到很難把思維特徵也是可以辦到的。
只要我們透過初等數學、高等數學課程的認真學習，仔細體會它的概念和論證方法的抽象特徵，自覺學習、運用這種思維方法來思考和分析問題，經過一段時間的訓練，便可逐步培養起這種抽象思維能力。藉助於邏輯學的幫助而建立起來的數學體系，具有一個突出的特點，就是它在邏輯上的嚴密性。無論是在高等數學還是初等數學中，嚴密性都是至關重要的。雖然嚴密性是相對而言的，它隨着科學及數學的發展在變化着。過去被大數學家認爲是嚴密的證明，今天卻因其不完善而被拋棄的情形也屢見不鮮。然而，嚴密性的要求畢竟在始終不斷推進着數學研究的向前發展，它使數學（特別是在數學基礎方面）在實質上和麪貌上發生了很大的變化。基於這種意義，可以認爲，現今以一組不證明的命題、一組不定義的術語爲基礎的公理數學，纔是最嚴格最廣泛最抽象的科學體系。今天，我們在大學或中學中學習數學，雖然沒有必要過分強調演繹論證的訓練，但必要的邏輯推理訓練是不可少的，因爲它是創造性數學思維中不可少的工具。