現代常被人們追溯到她的奠基人Frege (Lebniz是先驅者的地位)；接着談現代邏輯，人們會自然地找到其身後的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(維也納學派時期)、Quine等人，如此就認爲是勾勒出了現代邏輯的脈絡。這一看法多年來幾乎是毫無異議的。但隨着邏輯科學尤其是現代邏輯的不斷髮展，有潛心思考的研究者（Fisch、Zeman、Hinttika等）發現了那多年來一直被忽視但卻蘊藏在現代邏輯誕生之初的分歧，認爲分歧之中與權威相對的另一面應該值得重新或深入的研究，這另一面就是由Boole開始經由Peirce、Schröder直至後期Carnap、Tarski、Skolem等人維持的一條路線，它可看作是對邏輯基礎研究的另一途徑或方法（approach）。著名Peirce研究學者Ｍ.Ｈh一語道出這一分歧的實際情形：“但Boole-Peirce-Schröder (在下文中我們簡寫爲ＢＰＳ)路線不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead (在下文我們簡寫爲ＦＰＲ)路線取代了嗎？不；它只是被掩蓋了。”
在ＢＰＳ傳統中，Peirce（1839---1914）是位極其重要的人物，這倒不僅是因爲他天才般的思維和對和邏輯史上後來工作者的實際影響（美國本土哲學家James、Dewey、Mead、Lewis等無不受其影響，甚至歐洲大陸的等人的思想也多直接源於Peirce），也不僅是因爲他涉足領域的廣泛（除哲學和邏輯學之外，還有、天、學、學、化學、大地測量、學、現象學等等）；而主要是因爲他在現代邏輯理論史上的諸多實質性的貢獻。我們已經很難他敏銳的洞察力到底涉及到多少邏輯貢獻，但根據迄今爲止Peirce學者的研究成果，以下的領域是當然的和主要的：形式邏輯（主要是對傳統邏輯的改進）、邏輯代數、關係邏輯、命題邏輯、謂詞邏輯、三值邏輯、模態邏輯、語言邏輯、邏輯哲學、歸納邏輯以及邏輯史研究。
Peirce早期的邏輯研究（從1865年到約1885年）主要集中於邏輯代數。在當時，布爾邏輯剛創立不久，布爾的追隨者很多，著名的有Venn、Schröder、De Morgon等人，他們之間的研究有相互啓發與借鑑之處（有關貢獻的紛爭，可參看Kneale的《邏輯學的發展》），但主要還是相互獨立的。Peirce就是其中一位極具獨立性又最有創新的突出人物。身爲著名數學家Benjamin Peirce（美國當時科學界的一權威）的兒子，Peirce本人也是一數學家，他對於代數在邏輯中的應用，得心應手，他甚至曾把“三段論”作爲“聯結詞的代數”來研究。事實上，當時的符號邏輯就是邏輯代數（algebra of logic）。
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在Peirce看來，現代邏輯的研究實質上就是代數到邏輯的一場“類推(analogy)”，這種“類推”的前提，首先就是對代數中的符號的選擇。不同的邏輯代數研究者都有着自己的選擇，它們或者是從代數中原封不動地引入，或者是對代數中的相關符號做出邏輯意義上的改進。我們這裏從Peirce邏輯代數研究中所運用的諸多符號中選取以下主要的幾個，其中有的是Peirce本人獨創性地提出，有的是Peirce同其他人同時提出和使用，有的是BPS傳統所特有的：
一、包含於（inclusion in 或 is或as small as）符號“—<”（它是“≤”的一種方便的寫法）的引入。這是最重要的一點，它被Peirce本人多次提到，也被後來的研究者所普遍注意。但Peirce本人稱，這一符號是由他和ll同時引入的。Peirce這樣定義“—<”：
1、A —< A，無論A是什麼；
2 、若A —< B，且B —< C，則A —< C。
他說，這樣的定義雖然未區分開包含關係和包含於關係，但爲形式邏輯目的，卻是足夠的。Peirce看到包含於符號具有邏輯上的優點：首先，原來布爾的符號只能表達，物的某種描述不存在，而不能說某物不存在；而使用包含於和非包含於（ —<（超文字閱讀註釋：要在這一符號上方加一橫線）），“Griffin(一種怪獸) —< 噴火”意思就是，“不存在不噴火的Griffin”；同樣“動物 —<（超文字閱讀註釋：要在這一符號上方加一橫線）水生的”意思爲，“存在不是水生的動物”。Peirce這種特別的解釋很容易使我們想起前些年一直討論的傳統三段論中的主詞存在問題；同時符號“—<”的解釋也使我們聯想到現在邏輯研究中廣泛運用的實質蘊涵符號“→”（其實，關於實質蘊涵，Peirce有更清楚的表達：從“x—< y”推到“是y（超文字閱讀註釋：要在這一字母上方加一橫線）的x —<（不可能）”）。其次，在布爾的演算中經常用到的相等號或等值號“ = ”是一種更加複雜，即有着更大內涵（comprehension）或深度(depth)的關係，而相比之下，“—<”則更爲簡單方便，我們可以說A=B蘊涵A—
關於Peirce的“—<”符號，還有一點值得一提。在談到這一系詞的三個屬性時，Peirce做出了卓有見識的引申。他說，對於包含（containing）關係，我們可有着不同於通常“—<”的理解，從而會得到與之平行的幾種邏輯學說。若令 a—<´ b意爲a同b一樣小，除了在a同某物一樣小時而b不能同這一物一樣小之外，a 、b之間沒有什麼不同；則我們可得到數學或量的邏輯學。若令a—<´´ b意爲所有b是a，除了有a能謂述的某物而b不能謂述之外，a 、b之間沒有什麼不同；這樣我們所得到的，在另一方面就僅僅是邏輯學。若令a—<´´´ b表示b是a的後承，除了兩者匯出的後承不同之外，a 、b沒有什麼不同；那麼我們得到的將是條件句的邏輯學。這樣的一種解釋，一方面顯示了“—<”或蘊涵在邏輯科學中的基礎性的重要作用，另一方面也從一極爲特別的角度論證了邏輯的多類型。此外，其與後來模型論的思想也有着本質上的吻合。
二、包含（inclusive）意義下的邏輯加（符號爲“+（超文字閱讀註釋：要在這一符號右下方加一逗號）”，有時直接用“+”）的使用。Peirce這樣定義邏輯加：
1、A—< A +（超文字閱讀註釋：要在這一符號右下方加一逗號） B；
2、B—
3、若A—
符號“ +（超文字閱讀註釋：要在這一符號右下方加一逗號） ”是Peirce在1867年引入的，而（Peirce稱）Jevons在1864年，smann在1872年，Schröder在1877年，McColl於1877年也相繼獨立地提出了這一用法，即不管相互間是否相斥，都使用“+（超文字閱讀註釋：要在這一符號右下方加一逗號）”，把不同的項加在一起。這也就是我們常說的區別於算術加的邏輯加，或者如現代邏輯中所說的相容析取。譬如“歐洲人 +（超文字閱讀註釋：要在這一符號右下方加一逗號） 共和黨人”就表示，把所有歐洲人和共和黨人算在一起，而不用想盡辦法，像在算術中一樣，把共和黨人加上兩次。但若是Boole和Venn，他們就會寫成“歐洲人+ （超文字閱讀註釋：要在這一符號右下方加一逗號）非歐洲人的共和黨人”或“非共和黨人的歐洲人+（超文字閱讀註釋：要在這一符號右下方加一逗號）共和黨人”，這對於邏輯來說，顯然是種不必要的麻煩 。