論文關鍵詞：
高等數學 教學改革 數學建模
論文摘要：
數學建模的思想就是用數學的思路、方法去解決實際生產、生活當中所遇到的問題。當前高等數學教學的一個很大的缺陷就是“學”和“用”脫節。把數學建模的思想溶入到教學中去是一個解決問題的很好的方法。
一、數學建模在高等數學教學中的重要作用
數學是在實際應用的需求中產生的,要解決實際問題就必需建立數學模型,即數學建模。數學建模是指對現實世界的一些特定對象,爲了某特定目的,做出一些重要的簡化和假設,運用適當的數學工具得到一個數學結構,用它來解釋特定現象的現實性態,預測對象的未來狀況,提供處理對象的優化決策和控制,設計滿足某種需要的產品等。從此意義上講數學建模和數學一樣有古老歷史。例如,歐幾里德幾何就是一個古老的數學模型,牛頓萬有引力定律也是數學建模的一個光輝典範。今天,數學以空前的廣度和深度向其它科學技術領域滲透,過去很少應用數學的領域現在迅速走向定量化,數量化,需建立大量的數學模型。特別是新技術、新工藝蓬勃興起,計算機的.普及和廣泛應用,數學在許多高新技術上起着十分關鍵的作用。因此數學建模被時代賦予了更爲重要的意義。
二、數學建模思想在高等數學教學中的運用
高等數學教學的重點是提高學生的數學素質,學生的數學素質主要體現爲:抽象思維和邏輯推理的能力;如今在一些教材中也漸漸的補充了與實際問題相對應的例子,習題。如:人大出版社中的第四章第八節所提到的邊際分析與彈性分析,以及幾乎各種教材中對於函數極值問題的實際應用的例子。其實這就是實際應用中的一個簡單的建摸問題。但僅僅知道運算還是不夠的,我們還要從具體問題給出的數據建立適用的模型。下面我們就具體的例子來看看高等數學對經濟數學的應用。例:有資料記載某農村的達到小康水平的標準是年人均收入爲2000元,據調查該村公400人,其中一戶4人年收入60萬,另一戶4人20萬,其中70%的人年收入在300元左右,其餘在500左右。對於該村是否能定位在已經達到了小康水平呢。首先我們計算平均收入:60萬,20萬各一戶共8人,300元共400×70%=280人,500元共400-288=112人。
平均收入爲元
從這個數據我們可以看出該村的平均收入超過2000元,所以認爲達到了小康水平,但我們在來看一下數據,有99.5%的人均收入低於2000千,所以單從人均收入來衡量是不科學的,那麼在概率論中我們利用人均年收入的標準差a來衡量這個標準。
我們可以看出標準差是平均水平的六倍多,標準差係數竟超過100%,所以我們不能把該村看作是達到了小康水平。因此我們要真正的把高等數學融入到實際應用當中是我們高確良等教育的一個重點要改革的內容。爲了在概念的引入中展現數學建模,首先必須提出具有實際背景的引例。下面我們就以高等數學中導數這一概念爲例加以說明。
（1）引例
模型I:變速直線運動的瞬時速度
1、提出問題:設有一物體在作變速運動,如何求它在任一時刻的瞬時速度?
2、建立模型
分析:我們原來只學過求勻速運動在某一時刻的速度公式:S=vt那麼,對於變速問題,我們該如何解決呢?師生討論:由於變速運動的速度通常是連續變化的,所以當時間變化很小時,可以近似當勻速運動來對待。假設:設一物體作變速直線運動,以它的運動直線爲數軸,則在物體的運動過程中,對於每一時刻t,物體的相應位置可以用數軸上的一個座標S表示,即S與t之間存在函數關係:s=s(t)。稱其爲位移函數。設在t0時刻物體的位置爲S=s(t0)。當在t0時刻,給時間增加了△t,物體的位置變爲S=(t0+△t):此時位移改變了△S=S(t0+△t)-S(t0)。於是,物體在t0到t0+△t這段時間內的平均速度爲：v=當△t很小時,v可作爲物體在t0時刻瞬時速度的近似值。且當—△t—越小,v就越接近物體在t0時刻的瞬時速度v,即vt0=[(1)式]；
(1)即爲己知物體運動的位移函數s=s(t),求物體運動到任一時刻t0時的瞬時速度的數學模型。
模型II:非恆定電流的電流強度。己知從0到t這段時間流過導體橫截面的電量爲Q=Q(t),求在t0時刻透過導體的電流強度?透過對此模型的分析,同學們發現建立模型II的方法步驟與模型I完全相同,從而採用與模型I類似的方法,建立的數學模型爲:It0=要求解這兩個模型,對於簡單的函數還容易計算,但對於複雜的函數,求極限很難求出。爲了求解這
兩個模型,我們拋開它們的實際意義單從數學結構上看,卻具有完全相同的形式,可歸結爲同一個數學模型,即求函數改變量與自變量改變量比值,當自變量改變量趨近於零時的極限值。在自然科學和經濟活動中也有很多問題也可歸結爲這樣的數學模型,爲此,我們把這種形式的極限定義爲函數的導數。
（2）導數的概念
定義:設函數y=f(x)在點x0的某一領域內有定義,當自變量x在x0處有增量△x時,函數有相應的增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果當△x→0時△y△x的極限存在，這個極限值就叫做函數y=f(x)在x0點的導數。即函數y=f(x)在點x0處可導,記作f′(x0)或f′|x=x0即f′(x0)=。有了導數的定義,前面兩個問題可以重述爲:(1)變速直線運動在時刻t0的瞬時速度,就是位移函數S=S(t)在t0處對時間t的導數。即vt0=S′(t0)。(2)非恆定電流在時刻t0的電流強度,是電量函數Q=Q(t)在t0處對時間t的導數。即It0=Q′(t0)。
如果函數y=f(x)在區間(a,b)內每一點都可導,稱y=f(x)在區間(a,b)內可導。這時,對於(a,b)中的每一個確定的x值,對應着一個確定的導數值f′(x),這樣就確定了一個新的函數,此函數稱爲函數y=f(x)的導函數,記作y′或f′(x),導函數簡稱導數。顯然,y=f(x)在x0處的導數f′(x0),就是導函數f′(x)在點x0處的函數值。由導函數的定義,我們可以推匯出一系列的求導公式,求導法則。(略)有了求導公式,求導法則後,我們再反回去求解前面的模型就容易得多。現在我們就返回去接着前面模型I的建模步驟。
3、求解模型:我們就以自由落體運動爲例來求解。設它的位移函數爲s=gt2，求它在2秒末的瞬時速度？由導數定義可知：v(2)=S′(2)=*2gtlt=2=2tg
4、模型檢驗:上面所求結果與高中物理上所求得的結果一致。從而驗證了前面所建立模型的正確性。
5、模型的推廣:前面兩個模型的實質,就是函數在某點的瞬時變化率。由此可以推廣爲:求函數在某一點的變化率問題都可以直接用導數來解,而不須像前面那樣重複建立模型。除了在概念教學中可以浸透數學建模的思想和方法外,還可以在習題教學中浸透這種思想和方法。在這裏就不一一列舉。
透過數學建模的思想引入高等數學的教學中,其主要目的是透過數學建模的過程來使學生進一步熟悉基本的教學內容,培養學生的創新精神和科研意識,提高學生應用數學解決實際問題的思想和方法。
參考文獻：
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