論文(設計)題目：凸函數的定義及其在最優化問題中的應用
本選題的依據：1)說明本選題的研究意義和應用價值
2)簡述本選題的研究現狀和自己的見解
(1)本選題的內容
凸函數是一種性質特殊的函數，在數學領域中有廣泛的應用;凸函數在線性規劃與非線性規劃及運籌學最優化問題中都被作爲重要的基礎概念，本選題的主要內容是探究凸函數這個性質特殊的函數的各種定義及在不同定義下所反映出的幾何意義，並進一步探究凸函數在不同學科上的.應用。
(2)本選題的研究現狀
在任何一種高等數學教材中都介紹凸函數，它在最優化理論、數理經濟學等領域都有着廣泛的應用，先給出凸集的定義，藉助凸集來引入凸函數的幾何直觀性定義[1]，並藉此給出凸函數的解析式定義，進行一系列的分析、類比、歸納，接着用實例說明用凸函數解決實際問題的重要意義。
(3)本選題主要是首先歸納總結出凸函數通常使用的七種等價定義，這些定義形式各不相同，條件有強有弱，本文中對對它們的強弱關係進行了研究。接着用一些實例來證明凸函數在不同學科當中的運用。
(4)本選題探究到凸函數的各種定義以及在不同定義下所反映出的幾何意義，並進一步探究了凸函數在不同學科上的應用，使我們在處理某些問題時更加巧妙，靈活，更簡潔。本文所述內容使我們能夠快速獲取大量有關凸函數的重要內容，從而使解決一類特別繁雜不等式證明、最優化等問題變的別出一格。
研究的主要內容：
先給出凸集的定義，藉助凸集來引入凸函數的幾何直觀性定義，藉此又給出凸函數的解析式定義，總結出通常使用的七種等價條件來定義凸函數，並對它們的條件的強弱關係進行了研究。
接着以凸函數理論爲出發點，以著名的Jensen不等式爲基礎，給出其在最優化問題中的實際應用舉例。
主要研究方法：歸納法 類比法
主要參考資料：
[1] 史樹中，凸分析，上海：上海科學技術出版社，1990.
[2] 張光澄，非線性最優化計算方法，北京：高等教育出版社，2005.
[3] 裴禮文，數學分析中的典型問題與方法，北京：高等教育出版社，1993.
[4] 鄧衛兵，凸函數與不等式，哈爾濱商業大學學報，2005.5.112-113
[5] 沈燮昌，邵品琮.數學分析縱橫談[M]。北京：北京大學，1999.
[6] 胡雁軍，數學分析的證題方法與難題選解[M]。鄭州：河南大學出版社，1987.
[7] 吳祈宗，運籌學與最優化方法，北京：機械工業出版社，2005.
[8] 胡運權，單純型法中凸集與凸函數，書中第18頁《運籌學教程》北京：清華大學出版社，1998.
[9] Clarke F.H.,Optimization and nonsmooth analysis,Wiley-Interscience,New York,1983.