基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。以下是小編整理的關於二次函數知識點,希望大家認真閱讀!
定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c(a,b,c爲常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y爲x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常爲二次三項式。
二次函數的三種表達式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c爲常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2;+k[拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限於與x軸有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
二次函數的圖像
在平面直角座標系中作出二次函數y=x2的圖像,
可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸爲直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點爲拋物線的頂點P。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,座標爲
P[-b/2a,(4ac-b^2;)/4a]。
當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。
二次函數與一元二次方程
特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax^2;+bx+c,
當y=0時,二次函數爲關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2;+bx+c=0
此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫座標即爲方程的根。
畫拋物線y=ax2時,應先列表,再描點,最後連線。列表選取自變量x值時常以0爲中心,選取便於計算、描點的`整數值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,並注意變化趨勢。
二次函數解析式的幾種形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c爲常數,a≠0).
(2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k爲常數,a≠0).
(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫座標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0.
說明:(1)任何一個二次函數透過配方都可以化爲頂點式y=a(x-h)2+k,拋物線的頂點座標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點
如果圖像經過原點,並且對稱軸是y軸,則設y=ax^2;如果對稱軸是y軸,但不過原點,則設y=ax^2+k
定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c爲常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
則稱y爲x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常爲二次三項式。
x是自變量,y是x的函數
二次函數的三種表達式
①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c爲常數,a≠0)
②頂點式[拋物線的頂點P(h,k)]:y=a(x-h)^2+k
③交點式[僅限於與x軸有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]:y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進行如下轉化:
①一般式和頂點式的關係
對於二次函數y=ax^2+bx+c,其頂點座標爲(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點式的關係
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)