0 引言
齒輪傳動是機械傳動中最重要的傳動之一。公元前300 多年，古希臘哲學家亞里士多德在《機械問題》中，就闡述了用青銅或鑄鐵齒輪傳遞旋轉運動的問題。17 世紀末到18 世紀初，人們開始對齒輪的強度問題進行研究。歐洲工業革命以後，齒輪技術得到高速發展，齒輪傳動在機械傳動及整個機械領域中的應用極其廣泛。齒輪設計成爲機械設計中重要的設計內容之一。目前國際上比較常見的有關齒輪強度設計公式，除了我國的國家標準( GB) 有關齒輪強度的計算方法以外主要有: 國際標準化組織( ISO) 計算方法; 美國齒輪製造商協會( AGMA) 標準計算方法;德國工業標準( DIN) 計算方法; 日本齒輪工業會( JGMA)計算方法; 英國BS 計算方法等。作者在從事機械設計特別對齒輪設計的教學中，發現不少地方的知識點描述比較簡單，不容易理解，爲此，在文中對齒輪設計的幾個問題如齒輪的失效方式、齒輪強度設計的歷史、現狀進行了深入分析，探討我國齒輪強度設計的歷史來源以及在齒輪設計中的一些困惑。透過深入的分析，有助於大家更好地理解齒輪設計公式的意義和來龍去脈。
1 齒輪失效方式的探討
齒輪在傳動過程中會出現各種形式的失效，甚至喪失傳動能力。齒輪傳動的失效方式與齒輪的材料、熱處理方式、潤滑條件、載荷大小、載荷變化規律以及轉動速度等有關。人們對齒輪失效的認識是一個發展的過程。18 世紀中葉人們就開始對齒輪的失效進行研究。對齒輪摩擦磨損、點蝕形成和齒面膠合有了初步的認識。1928 年，白金漢發表了有關齒輪磨損的論文，並將齒面失效分爲點蝕、磨粒磨損、膠合、剝落、擦傷和咬死等6 種失效形式。1939 年，Rideout 將齒輪損傷分爲正常磨損、點蝕、剝落、膠合、擦傷、切傷、滾軋和錘擊等8 種形式。1953 年Borsoff 和Sorem 將齒輪損傷分爲6 類。1967 年尼曼根據大量試驗，對漸開線齒輪的4 種失效形式畫出了承載能力的限制關係圖，並指出當齒輪轉速較低時，影響軟齒面齒輪承載能力的主要因素是點蝕，影響硬齒面齒輪承載能力的是斷齒; 而對於高速重載傳動齒輪，影響因素往往是膠合。自上世紀50 年代以來，一些國家以標準的形式對齒輪損傷形式進行分類，對名詞術語、表現特徵、引發原因等都有規定。如1951 年美國將齒輪損傷分爲兩大類，一類是齒面損壞，包括磨損、塑性變形、膠合、表面疲勞等，另一類是輪齒的折斷。前一大類齒面損壞是齒輪作爲高副由於摩擦學原因而引起的表面損傷; 後一大類輪齒的折斷是輪齒作爲受力構件由於體積強度不夠而發生的破壞。1968 年奧地利國家標準規定了齒輪損傷的名詞術語。
1983 年，我國頒佈了齒輪輪齒損傷的術語、特徵和原因國家標準( GB /T3481 - 83) ，將齒輪損傷形式分爲5 大類，即磨損、齒面疲勞( 包括點蝕和剝落) 、塑性變形、輪齒折斷和其他損傷，共26 種失效形式。1997 年，我國頒佈了對GB/T3481 - 1983 修訂的GB/T3481 -1997 國家標準。目前我國在大多數的機械設計教材和機械設計手冊中齒輪失效方式都進行了簡化，一般分爲5 大類，即輪齒折斷、齒面疲勞點蝕、齒面膠合、齒面磨損和塑性變形。
2 齒輪強度設計的探討
2. 1 輪齒彎曲強度計算
1785 年，英國瓦特提出了齒根彎曲強度的計算方法，把輪齒看成爲矩形截面的板狀懸臂樑，隨後出現多種彎曲強度計算公式。1893年，路易斯發表了輪齒彎曲強度計算式，而且用內切拋物線法找齒輪的危險截面，這一方法稱爲“拋物線法”[12]，如圖1 所示。路易斯以載荷作用於齒頂推匯出齒根彎曲應力公式，但是對於重合度大於1 小於2 的齒輪傳動，理論上只有當單對齒齧合時，載荷才全部由一個齒承受。對於重合度大於2 小於3 的足夠精密的齒輪，因爲同時有2 對以上的齒輪在齧合，其最大彎曲應力的作用點要低。
在此之後，又出現30°切線法、尼曼法、白金漢法等。1980 年， ISO 提出“漸開線圓柱齒輪承載能力的基本原理”( ISO 6336 - 1980) ，公佈了輪齒彎曲強度、齒面接觸強度的計算方法。
過去，我國的齒輪強度計算方法一直比較混亂，沒有統一的標準，對生產、科研以及教學帶來諸多問題。於是， 1981 年我國成立了“漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法”國家標準課題組，以ISO6336—1980爲根據，開展全面的研究工作。1983 年頒佈了漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法的國家標準( GB /T3480—1983) 。
目前，我國有關齒輪彎曲強度的設計公式基本上採用30° 切線法，即作與輪齒對稱中心線成30°夾角並與齒根圓角相切的斜線，兩切點的連線是齒根危險截面位置。而且以單對齒齧合區的最高點作爲最不利載荷作用點，這時產生的彎曲應力最大，如圖2 所示。另外，彎曲疲勞強度計算公式中，齒形係數在許多機械設計中只是說明與齒數有關，與模數無關，並未做詳細說明，不容易理解。下面對相關問題進行詳細分析。如圖2 所示，齒根彎曲應力爲σF =MW= FnhFcosαFbS2F /6 = 6KFthFcosαFbS2Fcosα= KFtbm6( hFm) cosαF( SFm)2cosα( 1)式中，αF爲齒頂圓壓力角。令式( 1) 中的YF =6( hFm) cos αF( SFm)2cos α式中，YF稱爲齒形係數，由路易斯在其輪齒彎曲強度計算式中首次引用。可以看出，YF是與齒輪形狀的幾何參數有關的一個係數。因爲，根據齒輪形成原理，齒數的變化將引起輪齒上hF、SF、aF等參數的變化，由於hF、SF、aF均與齒輪模數成正比，致使齒形係數中的模數可以約去。因此，齒形係數不受模數的影響，而只與齒數有關，齒數越多YF越小，反之YF越大。這就是在機械設計的教材中經常會看到“標準齒輪的齒形係數只與齒數有關而與模數無關”的原因。
2. 2 齒輪壓應力對彎曲應力的影響
根據30°切線法及齒輪受力分析。將法向力Fn移至輪齒中線並分解成相互垂直的兩個分力，即圓周力Ft和徑向力Fr。根據力學理論，Ft使齒根產生彎曲應力爲σF，Fr則產生壓應力σy。因此齒根危險截面上受到的應力爲彎曲和壓縮組成的組合應力，並導致齒根兩邊的應力大小不相等。然而，在相關的機械設計資料中都沒有將由於徑向力產生的壓應力計算在齒輪的彎曲強度計算公式中，而且在大多數的相關教材中都認爲: 壓應力相對於齒根最大彎曲應力比較小，可以忽略不計。但是壓應力到底多少，爲什麼可以忽略不計，很少有人進行計算，下面對壓應力與彎曲應力進行探討。如圖2 中，Ft產生其彎曲應力σF如式( 1) 所示。由Fr產生壓應力σy爲σy = Fnsin αFbSF( 2)由式( 1) 及式( 2) 可得σyσF= SF6hFtan αF設OD = h'，則SF = 2h' tan30°，因此σyσF= tan 30tan αF3h'hF假設標準齒輪模數爲m，齒數z。則齒頂圓壓力角爲cos αF = rbra= zz + 2cos α，由於h'hF< 1，因此，當不考慮h'hF的影響時，σyσF的大小取決於齒輪的齒數。爲了便於討論，取ξ = σyσF稱爲壓應力對彎曲應力的影響係數。則根據計算可以得到ξ 與齒數的對應關係，如圖3 所示。可見，壓應力對彎曲應力的影響與齒數有關，而模數無關，而且隨着齒數的變化而變化，齒數越少其影響越大，反之影響就越小，最終趨於一水平線。最小約爲最大彎曲應力的8%，特別當h'hF< 1 時，壓應力更小，可以忽略不計。這就是爲了簡化計算，在計算輪齒彎曲強度時一般只考慮彎曲應力的原因。從圖2 可知，彎曲應力分爲拉伸側的拉應力和壓縮側的壓應力。實際證明，拉伸側是危險側，因拉伸側的`裂紋擴展速度較大。壓縮側有時雖裂紋出現較早，但發展速度較慢。所以大多數的公式以拉伸側的應力作爲設計時的計算應力。而且根據齒輪彎曲疲勞實驗分析證明，考慮彎曲應力、壓應力與只考慮彎曲應力的結果，實際上沒有多大差別。因此，在齒輪彎曲疲勞強度計算中只考慮彎曲應力。
2. 3 齒面接觸疲勞強度計算
圖4 赫茲接觸應力模型齒面接觸疲勞強度計算是針對齒輪齒面疲勞點蝕失效進行計算的強度計算。1881 年，赫茲提出兩個圓柱體接觸時接觸面上載荷分佈公式，該式作爲齒面強度計算的理論基礎，如圖4 所示。根據赫茲接觸應力理論，在載荷作用下接觸區產生的最大接觸應力爲σH = Fnπb·1ρ1± 1ρ21 - μ21E1+ 1 - μ22槡 E2( 3)式中，Fn爲作用在圓柱體上的載荷; b 爲接觸長度;μ1、μ2分別爲兩圓柱體材料的泊松比; E1、E2爲兩圓柱體材料的彈性模量。ρ1、ρ2爲兩圓柱體接觸處的半徑，式中“+”號用於外接觸，“-”號用於內接觸。1898 年，拉塞根據法向力應用“壓強”原理研究齒面的接觸疲勞強度問題。1908 年，奧地利的維德基將赫茲的兩個圓柱體的接觸應力理論應用於計算輪齒齒面應力，並繪出了沿齧合線最大接觸應力變化圖。1932 年，英國BS 根據實驗數據提出基礎表面應力作爲齒面強度計算方法。1940 年，美國AGMA 採用齒面強度最重負荷點的接觸應力最大值計算方法。
1949 年，白金漢提出節圓上齒面接觸應力不超過許用值的計算方法，後來該方法被許多計算方法所採用。1954 年，尼曼採用最大負荷點上滾動壓力。至今，我國皆以赫茲公式作爲計算齒面接觸疲勞強度的理論基礎，即以赫茲應力作爲點蝕的判斷指標。通常令1ρΣ= 1ρ1± 1ρ2，ρΣ稱爲綜合曲率，對於標準齒輪，1ρΣ= 2d1 sin αi ± 1i 。並令式( 3 ) 中的ZE =1π 1 - μ21E1+ 1 - μ22E 槡爲彈性影響係數。從而，獲得漸開線直齒圓柱齒輪接觸疲勞強度的基本公式爲σH = ZEZH2KT1bd21i ± 1槡 i #[ σ ] H( 4) 式中，ZH = 2槡sin αcos α，稱爲區域係數，對於壓力角α= 20°的標準齒輪，ZH≈2. 5。在機械設計手冊或機械設計教材中，有關齒輪接觸疲勞強度公式有很多版本，其中最常見的是將一對鋼製標準齒輪齒面接觸強度校覈公式進行簡化，取鋼製齒輪的E1 = E2 =2. 06 ×105MPa，μ1 =μ2 =0. 3，便獲得機械設計中常用的校覈公式。σH = 671 KT1bd21i ± 1槡 i ≤[ σ ] H( 5)
2. 4 齒面膠合強度計算
齒輪另外一個常見的失效是齒面膠合。有關齒輪膠合比較統一的說法是: 相互齧合的兩金屬齒面，在一定的壓力下直接接觸發生黏着，同時又隨着齒面運動而使金屬從齒面上撕落而引起的黏着磨損現象。膠合分爲冷膠合和熱膠合。對於高速重載的齒輪傳動，齒面瞬時溫度較高，相對滑動速度較大，則容易發生熱膠合。對於低速重載的重型齒輪傳動，由於齒面間壓力過大，導致齒面油膜被破壞，儘管齒面溫度不高，但也容易產生膠合，稱爲冷膠合。
對於齒輪齒面膠合強度計算的研究，目前主要基於兩種理論，一是基於Pv 值( 壓力與速度的乘積) 或PTv ( T 爲齧合點到節點的距離) 值作爲計算膠合的指標。另一種是以齒面溫度作爲判定膠合的準則的布洛克算法。1975 年，溫特提出積分溫度法。現在ISO 的標準中主要以這兩種方法爲主。2003年，我國頒佈“圓柱齒輪、錐齒輪和準雙曲面齒輪膠合承載能力計算方法”國家標準( GB - Z 6413. 1 - 2003和GB - Z 6413. 2 - 2003)。該標準等同採用了ISO/TR 13989 - 2000“圓柱齒輪、錐齒輪和準雙曲面齒輪膠合承載能力計算方法”。曾經有人試圖以按彈性流體動力潤滑理論計算齒面間的油膜厚度作爲膠合的評判依據。
我國多數的機械設計教材中齒輪強度設計一般只提供齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度兩種計算方法，並未提供有關齒面膠合的強度計算公式。
3 結束語
文中分別對機械設計教學中有關齒輪的強度設計問題進行了分析和探討，詳細解讀我國齒輪強度設計的歷史沿革及現狀，以及齒輪強度設計計算過程中讓人困惑的問題及解決方法。研究指出，在齒輪彎曲疲勞強度的計算中，壓應力對彎曲應力的影響是有限的，一般可忽略不計，只有當需要精確計算時，應當考慮其影響。論文的研究可以幫助齒輪設計人員和學生更好地理解齒輪設計中的相關內容，爲將來從事機械設計工作打下良好的基礎。