論文摘要: 低密度校驗碼（Low Density Parity Check Codes，LDPC codes）是當前編碼理論領域研究最熱的信道編碼之一。本文介紹了LDPC 碼的概念及其性能，並對低密度校驗碼應用的現狀和今後方向作出了展望。
一、LDPC碼簡述
低密度校驗(LDPC)碼又稱爲哥拉格(Gallager)碼,它是哥拉格於1962年提出的一種性能接近香農(Shan2non) 限的好碼。在很長的一段時間裏,LDPC碼並未受到人們的重視。直到1993 年,Berrou 等提出了Tur2bo碼後,人們研究發現Turbo 碼其實就是一種LDPC碼,LDPC碼又重新引起了人們的研究興趣。1996 年,MacK2ay的研究,使LDPC碼的研究跨入了一個新的階段. 最近幾年的研表明,在非規則圖上構造的基於GF(q)域上的LDPC碼性能要好於Trubo 碼,它的性能非常接近香農限。LDPC碼是根據稀疏隨機圖來構造的,因而它的碼子之間具有很好的碼距離。LDPC碼屬於線性糾錯碼,它的校驗矩陣是一個稀疏校驗陣:每個碼子滿足一定數目的線性約束,而約束的數目通常是非常小的是約束數目爲3 的校驗矩陣)。同時由於LDPC碼的約束是由一個稀疏圖定義的,因而使得它的譯碼變得較爲容易。目前,LDPC碼已經成爲編碼領域的一個新的研究熱點。
二、LDPC碼的性能分析
LDPC碼的譯碼性能分析方法主要可以歸納爲三類：1）密度進化（Density Evolution）理論。2）高斯近似（Gaussian Approximation）；3）EXIT 表（Extrinsic Information Transform Chart）。
1. 密度進化
LDPC碼的和積譯碼算法或BP算法中，資訊在變量節點和校驗節點之間不斷迭代傳遞的，每次迭代傳遞的資訊是隨機變量。在這種迭代譯碼中，存在一種閾值現象，即在信道噪聲水平低於某個閾值時，隨着碼長趨向於無窮大時，碼的BER 可以任意逼近零，否則錯誤概率將大於一個正常數。最早由Gallager利用組合和概率理論對和積譯碼算法下碼的誤碼率進行了理論分析並觀察了二進制對稱信道（BSC）的閾值現象，提出跟蹤LDPC 碼迭代傳遞的外資訊的概率分佈來分析譯碼器的收斂行爲，即對於每次迭代計算節點的輸出誤比特率，輸出誤比特率是本次迭代輸入誤比特率的函數，每次迭代的平均誤比特率可以透過變量節點和校驗節點之間傳遞的資訊的概率密度函數得到。Luby etal將這種分析思想應用到LDPC碼的硬判決譯碼中，在二進制刪除信道（BEC）中譯碼過程同樣存在這種閾值現象，利用隨機構造的非規則LDPC 碼可以改進閾值，非規則LDPC 碼的性能優於規則LDPC碼。Richardson和Urbanke在Gallager 和Luby的工作基礎上將對LDPC 碼的譯碼算法的分析方法擴展到更一般的信道模型。在給定的信道模型下，假設基於二分圖的LDPC是無環的，或在設定的迭代次數和校驗矩陣足夠大的情況下，資訊節點在深度爲2的'鄰域內爲樹狀結構，那麼在節點之間迭代的資訊是獨立同分布的隨機變量。Richardson等人分析了這些傳遞資訊的概率密度的進化情況，發現在和積譯碼算法的每次迭代資訊傳遞中出現錯誤資訊的部分可以遞歸地表示成LDPC碼的度分佈序列和信道參數的函數。迭代計算節點間傳遞資訊的概率密度函數的方法就稱爲密度進化。Richardson等在進一步的研究中表明描述節點間傳遞的錯誤資訊的概率是一種稱爲Martingale 的隨機過程，在和積譯碼算法下資訊的平均錯誤概率集中在它的期望值周圍，當碼長趨向於無窮時，基於有環二分圖的LDPC碼的譯碼性能逼近無環時的行爲。