摘要
本文針對變壓器鐵心柱截面優化設計，建立數學模型並用matlab函數constr編程以及使用LINGO編程求解。
最優鐵心柱截面設計方案指的是在達到使用標準的情況下，讓鐵心柱橫截面
的有效截面面積最大，從而提高產品的使用性能，提高產品的競爭力。
問題一中，鐵心柱外接圓直徑爲650Mm，根據截面級數的選擇表，可以確定其級數的範圍。根據製造工藝要求的第一級厚度最小26和最後一級寬度要求最小爲20，各級之間寬度依次減少爲約束，以有效截面積最大爲目標，建立起含多個整數變量的非線性整數規劃模型——模型一，優化求解以確定最優的多級硅鋼片階梯形組成方案。
利用MATLAB軟件規劃求解得到最優的多級階梯形硅鋼片組成方案爲：
鐵心柱有效截面積320240，鐵心利用率96.50%，級數爲13，
各級的寬度和厚度爲：
（640，114）（620，82）（595，66）（570，51）（535，57）（500，46）（460，44）（415，41）（370，34）（315，34）（260，27）（190，26）（110，19）
對於問題二和問題三，我們將第一問的模型進行拓展和延伸。
第二問要求線圈內筒和鐵心柱外接圓直徑的公差。以有效截面積利用率最大爲目標，以變壓器設計結構設計要求爲約束，我們再次建立了一個非線性整數規劃模型。
在考慮添加油道的問題中，需要確定油道位置，並且分割的各個面積要求基本相等。我們首先確定油道的位置，然後在分割出來的各個小塊裏，分別去進行多級階梯形的最優化設計。各個分塊裏實現了最優化，整個設計就實現了最優化。
該過程中，油道和各個分塊之間會產生間隙，針對此問題，我們將油道的位置向圓心靠近調整，然後新產生的間隙，用下一個分塊的第一級硅鋼片進行補充。
由於鐵心柱疊片係數是一個常數，在模型求解的過程中，可以忽略其影響。
在建模的過程中，我們運用了MATLAB和LINGO軟件進行求解。
關鍵詞:非線整數性規劃，鐵心利用率，分佈填充
問題重述
電力變壓器的設計中很重要的一個環節就是鐵心柱的截面如何設計。我國變壓器製造業通常採用全國統一的標準鐵心設計圖紙。根據多年的生產經驗，各生產廠存在着對已有設計方案的疑問：能否改進及如何改進這些設計，才能在提高使用效果的同時降低變壓器的成本。
現在以心式鐵心柱爲例試圖進行優化設計。
電力變壓器鐵心柱截面在圓形的線圈筒裏面。爲了充分利用線圈內空間又便於生產管理，心式鐵心柱截面常採用多級階梯形結構，如圖1所示。截面在圓內上下軸對稱，左右也軸對稱。階梯形的每級都是由許多同種寬度的硅鋼片迭起來的。由於製造工藝的要求，硅鋼片的寬度一般取爲5的倍數（單位：毫米）。因爲在多級階梯形和線圈之間需要加入一定的撐條來起到固定的作用，所以一般要求第一級的厚度最小爲26毫米，硅鋼片的寬度最小爲20毫米。
鐵心柱有效截面的面積，等於多級鐵心柱的幾何截面積（不包括油道）乘以疊片係數。而疊片係數通常與硅鋼片厚度、表面的絕緣漆膜厚度、硅鋼片的平整度以及壓緊程度有關。設計時希望有效截面儘量大，既節省材料又減少能量損耗。顯然鐵心柱的級數愈多，其截面愈接近於圓形，在一定的直徑下鐵心柱有效截面也愈大。但這樣製造也工藝複雜，一般情況下鐵心柱的級數可參照表1選取。
表1 鐵心柱截面級數的選擇
鐵心柱直徑mm 級數
80-195 5-7
200-265 8-10
270-390 11
400-740 12-14
760以上 >15
問題一：當鐵心柱外接圓直徑爲650毫米時，如何確定鐵心柱截面的級數、各級寬度和厚度，才能使鐵心柱的有效截面積最大。
問題二：實際生產中線圈的內筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，而留有一定的間隙以便於安裝和維修，設計的兩個直徑的取值範圍稱爲各自的公差帶。因此可以在設計鐵心截面時稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的截面形狀。請結合鐵心柱截面的設計而設計出二者的公差帶。
問題三：銅導線在電流流過時發熱造成的功率損耗簡稱爲銅損；鐵心在磁力線透過時發熱造成的功率損耗簡稱爲鐵損。爲了改善鐵心內部的散熱，鐵心柱直徑爲380毫米以上時須設定冷卻油道。簡單地說，就是在某些相鄰階梯形之間留下6毫米厚的水平空隙（如圖2所示），空隙裏充滿油，變壓器工作時油上下循環帶走鐵心裏的熱量。具體油道數可按表2選取。油道的位置應使其分割的相鄰兩部分鐵心柱截面積近似相等。
分別針對問題一和問題二的情況，增加油道要求再給出設計，並指出油道的位置。
表2 冷卻油道數的選擇
鐵心柱直徑mm 半圓中6mm油道個數
380-410 0
420-500 1
510-690 2
700-840 3