摘要:函數思想是數學思想的有機組成部分,它在數學解題中的應用越來越廣泛。本文就構造函數這一方法在不等式、數列、方程有解及恆成立問題等方面的應用舉例說明。
關鍵詞:函數思想;構造函數;不等式;方程;應用
函數思想,指運用函數的概念和性質,透過類比聯想轉化合理地構造函數,然後去分析、研究問題,轉化問題並解決問題。因此函數思想的實質是用聯繫和變化的觀點提出數學對象,抽象其數量特徵,建立函數關係。
函數思想在數學應用中佔有重要的地位,應用範圍很廣。函數思想不僅體現在本身就是函數問題的高考試題中,而且對於諸如方程、三角函數、不等式、數列、解析幾何等問題也常常可以透過構造函數來求解。
根據需要,構造輔助函數是高等數學中一種常用的方法,這種方法也已滲透到中學數學中。首先解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題,設法建立起目標函數,並確定變量的限制條件,用函數的觀點加以分析,常可使問題變得明瞭,從而易於找到一種科學的解題途徑。其次數量關係是數學中的一種基本關係。現實世界的複雜性決定了數量關係的多元性。因此,如何從多變元的數量關係中選定合適的主變元,從而揭示其中主要的函數關係,有時便成了數學問題能否“明朗化”的關鍵所在。下面我們舉例說明構造函數的方法在解題中的應用。
一、構造函數解決有關不等式的問題
有些不等式證明和比較大小的問題,如能根據其結構特徵,構造相應的函數,從函數的單調性或有界性等角度入手,去分析推理,證明過程就會簡潔又明快。
例1:若 ,則 的大小關係是 。
分析:式中各項的結構相同,只是字母不同,故可構造函數 進行判斷。
解:構造函數 ,易證函數 在其區間 是單調遞增函數。
例2(2008年山東理):已知函數 其中 爲常數。當 時,證明:對任意的正整數 ,當 時,有
證法一:因爲 ,所以 。
當 爲偶數時,令 則 ( )所以 當 時, 單調遞增。又 ,因此 恆成立,所以 成立。當 爲奇數時,要證 ,由於 ,所以只需證 ,令 ,則 ( ),所以,當 時, 單調遞增,又 ,所以當 時,恆有 ,即 命題成立。
綜上所述,結論成立。
證法二:當 時, ,當 時,對任意的正整數 ,恆有 ,故只需證明 。令 則 ,當 時, ,故 在 上單調遞增,因此 當 時, ,即 成立。故 當 時,有 ,即 。
試題分析:第二問需要對構造的新函數 進行“常規處理”,即先證單調性,然後求最值,最後作出判斷。
評註:函數類問題的解題方法要內悟、歸納、整理,使之成爲一個系統,在具體運用時自如流暢,既要具有一定的思維定向,也要謹防盲目套用。函數與不等式之間如同一對孿生兄弟,透過對不等式結構特徵的分析,來構造函數模型,常常可以收到出奇制勝的效果。此類問題對轉化能力要求很高,不能有效轉化是解題難以突破的主要原因,要善於構造函數證明不等式,從而體現導數的工具性。
二、構造函數解決數列中的有關問題
數列的實質是函數,用函數思想解數列問題能夠加深對數列概念及公式的理解,加強知識點間的聯繫.
例3:在等差數列中,已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) , 求 Sp+q 的值。
略解:因爲 是n的一次函數,點( n , ) 共線,所以點 (p , ) , ( q , ) , ( p + q , ) 共線, 則有 化簡即得 Sp+q = -( p + q ) 。
例4:等差數列{ }的首項 ,前 項的和爲 ,若 ,問 爲何值時 最大?
簡析:運用數列中的通項公式的特點,把數列問題轉化爲函數問題解決。
解:依題意,設此函數是以 爲自變量的二次函數。
故二次函數 的圖象開口向下當 時, 最大,但 中, 當 爲偶數時, 時, 最大當 爲奇數時, 時, 最大。
三、構造函數解決方程有解、無解及若干個解的問題
方程有解、無解問題可以用“變量分離法”轉化爲求函數的值域,或直接構造函數。
例5(2010上海文科數學):若 是方程式 的解,則 屬於區間()
A. (0,1) B.(1,1.25) C.(1.25,1.75) D.(1.75,2)
解析:
知 屬於區間(1.75,2)
例6(2010天津文科數學):設函數f(x)=x- ,對任意 恆成立,則實數m的取值範圍是________。答案:m<-1
構造函數法在解題中的應用
學問君
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