一、選擇題
1．(2011?泰州)四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交於點O，給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有()
A．1組B．2組C．3組D．4組
答案C
解析四組條件中，①②③可作爲判定平行四邊形的條件；④不可以，因爲等腰梯形有AB∥CD，AD＝BC.
2．(2011?寧夏)點A、B、C是平面內不在同一直線上的三點，點D是平面內任意一點，若A、B、C、D四點恰能構成一個平行四邊形，則在平面符合這樣條件的點D有()
A．1個B．2個C．3個D．4個
答案C
解析如圖，可畫出平行四邊形三個，符合條件的點D有三個．
3．(2011?達州)如圖，在?ABCD中，E是BC的中點，且∠AEC＝∠DCE，則下列結論不正確的是()
A．S△AFD＝2S△EFB
B．BF＝12DF
C．四邊形AECD是等腰梯形
D．∠AEB＝∠ADC
答案A
解析因爲E是BC的中點，所以BE＝12BC，又四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，△AFD∽△EFB，S△EFBS△AFD＝BEAD2＝122＝14，故S△AFD＝4S△EFB.
4．(2011?安徽)如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是()
A．7B．9C．10D．11
答案D
解析∵E、F是AB、AC的中點，
∴EF綊12BC.
∵H、G是BD、CD的中點，
∴HG綊12BC.
∴EF綊HG，四邊形EFGH是平行四邊形．
∵E、H是AB、BD的中點，
∴EH＝12AD＝3.
在Rt△BCD中，BC＝32＋42＝5，所以?EFGH的周長＝2×3＋52＝11.
5．(2011?浙江)如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連結CE交AD於點F，連結BD交CE於點G，連結BE.下列結論中：
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD?AE＝EF?CG；
一定正確的結論有()
A．1個B．2個C．3個D．4個
答案D
解析①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴CE＝BD，故①正確．
②∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD.
∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，
∴AD＝CD，∴△ADC是等腰直角三角形，故②正確．
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°.
∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠BAE＝360°－90°－90°－45°＝135°，
∴∠BAD＝∠BAE.
又∵AB＝AB，AD＝AE，∴△BAE≌△BAD(SAS)，
∴∠ADB＝∠AEB，故③正確．
④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，
∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA＝∠AEC＝∠BDA.
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＋∠BDA＝90°.
∵∠GFD＝∠AFE，∴∠GDF＋GFD＝90°，
∴∠CGD＝90°.
∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD～△EAF，
∴CDEF＝CGAE，∴CD?AE＝EF?CG，故④正確．
正確的結論有4個，選D.
二、填空題
6．(2011?蘇州)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交於點O.若AC＝6，則線段AO的長度等於___________．
答案3
解析∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴AO＝CO＝12AC＝12×6＝3.
7．(2011?聊城)如圖，在?ABCD中，AC、BD相交於點O，點E是AB的中點，OE＝3cm，則AD的長是__________cm.
答案6
解析在?ABCD中，BO＝DO，
∵點E是AE中點，
∴AE＝BE，
∴EO是△ABD的中位線．
∴OE＝12AD，
∴AD＝2×3＝6cm.
8．(2011?臨沂)如圖，?ABCD中，E是BA延長線上一點，AB＝AE，連結CE交AD於點F，若CF平分∠BCD，AB＝3，則BC的長爲________．
答案6
解析在?ABCD中，AB∥DC，
∴∠E＝∠DCF.
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCE，
∴∠E＝∠BCE，
∴BC＝BE.
∵AB＝AE＝3，
∴BE＝6.
即BC＝6.
9．(2011?泉州)如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E、F分別是AB、CD的中點，AD＝BC，∠PEF＝18°，則∠PFE的度數是__________．
答案18°
解析∵P是BD的中點，E、F分別是AB、CD的中點，
∴PE＝12AD，PF＝12BC.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝18°.
10．(2011?金華)如圖，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足爲點F，與DC的延長線相交於點H，則△DEF的'面積是__________．
答案23
解析在Rt△BEF中，∠ABC＝60°，BE＝12BC＝12AD＝12×4＝2.
∴BF＝1，EF＝3.
易證△BEF≌△CEH，∴BF＝CH＝1，EF＝EH＝3，
∴S△DEF＝S△DEH＝12DH?EH＝12×(3＋1)×3＝23.
三、解答題
11．(2011?宜賓)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交於點O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.
求證：GF∥HE.
解證明：在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，
∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.
同理可證，OG＝OH.
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
∴GF∥HE.
12．(2011?福州)如圖，請在下列四個關係中，選出兩個恰當的關係作爲條件，推出四邊形ABCD是平行四邊形，並予以證明．(寫出一種即可)
關係：①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.
已知：在四邊形ABCD中，__________，__________；
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
解選①、③.
證明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴AB∥DC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形．(選①④、③④均可)
13．(2011?義烏)如圖，已知E、F是?ABCD對角線AC上的兩點，且BE⊥AC，DF⊥AC.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(2)請寫出圖中除△ABE≌△CDF外其餘兩對全等三角形(不再添加輔助線)．
解(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)①△ABC≌△CDA；②△BCE≌△DAF.
14．(2011?廣東)如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足爲F，連接DF.
(1)試說明AC＝EF；
(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
解(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝12AB，AC＝32AB.
在等邊△ABE中，EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，AF＝12AE，EF＝32AE＝32AB，
∴AC＝EF.
(2)在等邊△ACD中，∠DAC＝60°，
∴∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA，
∴AD∥EF.
又AD＝AC＝EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．
15．(2011?北京)在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC於點E，交直線DC於點F.
(1)在圖1中證明CE＝CF；
(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中點(如圖2)，直接寫出∠BDG的度數；
(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分別連結DB、DG(如圖3)，求∠BDG的度數．
解(1)證明：如圖1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，
∴∠CEF＝∠F，∴CE＝CF.
(2)∠BDG＝45°.
(3)解法一：分別連接GB、GE、GC(如圖4)．
∵AB∥DC，∠ABC＝120°，
∴∠ECF＝∠ABC＝120°.
∵FG∥CE且FG＝CE，
∴四邊形CEGF是平行四邊形．
由(1)得CE＝CF,∴?CEGF是菱形，
∴EG＝EC，∠GCF＝∠GCE＝12∠ECF＝60°.
∴△ECG是等邊三角形．
∴EG＝CG，…①
∴∠GEC＝∠EGC＝60°，
∴∠GEC＝∠GCF，
∴∠BEG＝∠DCG，…②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE.
在?ABCD中，AB＝DC，
∴BE＝DC，…③
由①②③得，△BEG≌△DCG.
∴BG＝DG，∠1＝∠2，
∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°.
∴∠BDG＝12(180°－∠BGD)＝60°.
解法二：延長AB、FG交於H，連接HD，如圖5，
易證四邊形AHFD是平行四邊形．
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°，
∴△DAF爲等腰三角形，∴AD＝DF，
圖5
∴平行四邊形AHFD是菱形，
∴△ADH、△DHF爲全等的等邊三角形，
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°.
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF.
∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF，
∴∠BDG＝∠BDH＋∠HDG＝∠GDF＋∠HDG＝60°.