摘 要：極限理論貫穿整個微積分學，是微積分的重要內容和難點。認識極限思想是把握和理解極限理論的前提。透過極限思想與辨證哲學的緊密聯繫，加強極限思想的辨證理解，有助於數學思維的培養和數學素養的提高。
關鍵詞：極限思想；辨證哲學；對立統一
0 引言。
微積分是研究客觀世界運動現象的一門學科，我們引入極限概念對客觀世界運動過程加以描述， 用極限方法建立其數量關係並研究其運動結果[1]。極限理論是微積分學的基礎理論，貫穿整個微積分學。要學好微積分，必須認識和理解極限理論，而把握極限理論的前提，首先要認識極限思想。極限思想蘊涵着豐富的辯證思想，是變與不變、過程與結果、有限與無限、近似與精確、量變與質變以及否定與肯定的對立統一。
1 極限思想與辯證哲學的聯繫。
1.1 極限思想是變與不變的對立統一。
“變”與“不變”反映了客觀事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態，不變是相對的，變是絕對的，但它們在一定條件下又可相互轉化。例如，平面內一條曲線C上某一點P 的切線斜率爲kp。除P 點外曲線上點的斜率k 是變量，kp是不變量，曲線上不同的點對應不同的斜率K，斜率k 不可能等於kp，k 與kp是變與不變的對立關係；同時，它們之間也體現了一種相互聯繫相互依賴的關係。當曲線上的點無限接近P 點過程中，斜率k無限接近kp，變化的量向不變的量逐漸接近。當無限接近的結果產生質的飛躍時，變量轉化爲不變量，即“變”而“不變”，這體現了變與不變的統一關係。
1.2 極限思想是過程與結果的對立統一。
過程和結果在哲學上是辯證統一的關係， 在極限思想中也充分體現了結果與過程的對立統一。在上例中，當曲線上的點無限接近點P 的變化過程中，k 是變化過程，kp是變化結果。一方面，無論曲線上點多麼接近點P，都不能與點P 重合，同樣曲線上變化點的斜率k 也不等於kp，這體現了過程與結果的對立性；另一方面，隨着無限接近過程的進行，斜率k 越來越接近kp，二者之間有緊密的聯繫， 無限接近的變化結果使得斜率k 轉化爲kp，這體現了過程與結果的統一性。所以，透過研究曲線上點斜率k 的變化過程得到P 點的斜率kp就是過程與結果的對立統一。
1.3 極限思想是有限與無限的對立統一。
在辨證法中，有限與極限是對立統一的。無限與有限有本質的不同， 但二者又有聯繫， 無限是有限的發展，同時藉助極限法，從有限認識無限[2]。例如，在極限式lim n→∞ xn=a 中xn對應數列中的每一項， 這些不同的數值xn既有相對靜止性，又有絕對的運動性。數列中的每一項xn和a 都是確定不變的量， 是有限數； 隨着n無限增大，有限數xn向a 無限接進，正是這些有限數xn的無限變化，體現了無限運動的變化過程，這種無限運動變化結果是數值。因此在極限思想中無限是有限的發展，有限是無限的結果，他們既是對立又是統一的。
1.4 極限思想是近似與精確的對立統一。
近似與精確是對立統一的關係， 在一定條件下可相互轉化， 這種轉化是理解數學運算的重要方法[2]。
在極限抽象的概念中，引入實例如“圓內接正多邊形面積”，其內結多邊形面積是該圓面積的近似值，當多邊形的邊數無限增大時， 內結多變形面積無限接近圓面積，取極限後就可得到圓面積的精確值，這就是藉助極限法，從近似認識精確。又如在極限式lim n→∞ xn=a 中，當n無限增大時，數列的項x1，x2，…，xn反映變量xn無限的變化過程，而a 反映了變量xn無限變化的結果，每個xn都是a 的近似值，並且當n 越大，精確度越高；當n 趨於無窮時，近似值xn轉化爲精確值a。雖然近似與精確是兩個性質不同、完全對立的概念，但是透過極限法，建立兩者之間的聯繫，在一定條件下可以相互轉化。因此近似與精確既是對立又是統一的。
1.5 極限思想是量變與質變的對立統一。