◆知識講解
1.一元一次不等式的概念
類似於一元一次方程,含有一個未知數,未知數的次數是1的不等式叫做一元一次不等式.
2.不等式的解和解集
不等式的解:與方程類似,我們可以把那些使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.
不等式的解集:對於一個含有未知數的不等式,它的所有的解的`集合叫做這個不等式的解集.它可以用最簡單的不等式表示,也可以用數軸來表示.
3.不等式的性質
性質1:不等式兩邊加上(或減去)同一個數(或式子),不等號的方向不變,即如a>b,那麼a±c>b±c.
性質2:不等式兩邊乘以(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,即如果a>b,c>0,那麼ac>bc(或 > ).
性質3:不等式兩邊乘以(或除以)同一個負數,不等號的方向改變,即如果a>b,c<0,那麼ac<bc(或 > ).
不等式的其他性質:①若a>b,則b<a;②若a>b,b>c,則a>c;③若a≥b,且b≥a,則a=b;④若a≤0,則a=0.
4.一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似,但要特別注意不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數時,不等號要改變方向.
5.一元一次不等式的應用
列一元一次不等式解實際應用問題,可類比列一元一次方程解應用問題的方法和技巧,不同的是,列不等式解應用題,尋求的是不等關係,因此,根據問題情境,抓住應用問題中“不等”關係的關鍵詞語,或從題意中體會、感悟出不等關係十分重要.
◆例題解析
【點評】應用特值法來解題的條件是答案必須確定.如,當a>1時,A與2a-2的大小關係不確定,當1<a<2時,當a>2a-2;當a=2時,a=2a-2;當a>2時,a<2a-2,因此,此時a與2a-2的大小關係不能用特徵法. 例2 若不等式-3x+n>0的解集是x<2,則不等式-3x+n<0的解集是_______.
【分析】一方面可從已知不等式中求出它的解集,再利用解集的等價性求出n的值,進而得到另一不等式的解集.
(1)按該公司要求可以有幾種購買方案?
(2)若該公司購進的6臺機器的日生產能力不低於380個,那麼爲了節約資金應選擇哪種購買方案?
【解析】(1)可設購買甲種機器x臺,然後用x表示出購買甲,乙兩種機器的實際費用,根據“本次購買機器所耗資金不能超過24萬元”列不等式求解.
(2)分別算出(1)中各方案每天的生產量,根據“日生產能力不低於380個”與“節約資金”兩個條件選擇購買方案.
解(1)設購買甲種機器x臺,則購買乙種機器(6-x)臺,則
7x+5(6-x)≤34
解得x≤2
又x≥0
∴0≤x≤2
∴整數x=0,1,2
∴可得三種購買方案:
方案一:購買乙種機器6臺;
方案二:購買甲種機器1臺,乙種機器5臺;
方案三:購買甲種機器2臺,乙種機器4臺.
(2)列表如下:
由於方案一的日生產量小於380個,因此不選擇方案一;方案三比方案二多耗資2萬元,故選擇方案二.
【點評】①部分實際問題的解通常爲整數;②方案的各種情況可以用表格的形式表達.
七年級數學期末複習:一元一次不等式及其應用
學問君
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