第九章：三角形
知識點：
一、關於三角形的一些概念：
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內角，簡稱三角形的角。
1、三角形的角平分線：三角形的角平分線是一條線段（頂點與內角平分線和對邊交線間的距離）
2、三角形的中線：
三角形的中線也是一條線段（頂點到對邊中點間的距離）
3、三角形的高：
三角形的高線也是一條線段（頂點到對邊的距離）
注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內。
如圖2－1， AD、 BE、 CF都是麼ABC的角平分線，它們都在△ABC內
如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內
而圖2－3，說明高線不一定在 △ABC內，
圖2－3—（1），中三條高線都在△ ABC內，
圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內，而高線AC與BC是三角形的'邊；
圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內，而高線AD、CF在△ABC外。
三、三角形三條邊的關係：
三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。
等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。
三角形接邊相等關係來分類：
用集合表示，見圖2－4
推論三角形兩邊的差小於第三邊。
不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。
例如三條線段長分別爲5，6，1人因爲5＋6＜12，所以這三條線段，不能作爲三角形的三邊。
四、三角形的內角和：
定理三角形三個內角的和等於180°
由定理可知，三角形的二個角已知，那麼第三角可以由定理求得。
如已知△ABC的兩個角爲∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°
由定理可以知道，三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角。
推論1：直角三角形的兩個銳角互餘。
三角形按角分類：
用集合表示，見圖
三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。
推論2：三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
推論3：三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
例如圖2—6中
∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；
∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。
五、全等三角形：
能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。
兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫對應頂點，互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。
全等用符號“≌”表示
△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，B和B`， C和C`是對應點。
全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。
如圖2—7，△ABC≌△A `B`C`，則有A、B、C的對應點A`、B`、C`；AB、BC、CA的對應邊是A`B`、B`C`、C`A`。
∠A，∠B，∠C的對應角是∠A`、∠B`、∠C`。
∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`
六、全等三角形的判定：
1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）
注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。
2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角“或“ASA”）
3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊’域“AAS”）
4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）
由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩定性。
除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個三角形全等。
5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）
七、角的平分線：
定理1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
定理2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。
由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。
可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交於一點）
在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那麼這兩個命題叫做互爲逆命題，如果把其中的一個做原命題，那麼另一個叫它的逆命題。
如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定
理。
例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。
一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒逆定理，因爲“相等的角是對頂角”這是一個假命顆。