自然界中處於同一環境中的兩個種羣相互依存的現象是很普遍的, 本文從種羣的增長規律出發, 建立模型分析了可以獨立生存, 共處時又能相互提供食物的兩個種羣在同一環境中的發展規律. 該模型爲了描述兩種羣之間的促進作用引入參數, 在Logistic模型的基礎上進行了修改, 透過微分方程組描述了兩種羣數量的變化規律.
本文透過對微分方程組穩定點的分析, 求出了在共處的條件下兩種羣不會同時都對對方有很大的促進作用. 文章最後對所有結束進行了詳細的分析, 描述了各種情況的實際意義. 在合理的假設下, 說明了該模型與實際情況基本相符.
問題重述
模型假設
種羣1和種羣2在同一環境中可以相互提供食物, 但兩種羣都能獨立存在.
種羣數量隨時間的變化視爲連續的.
不考慮其它種羣對種羣1和2生存的影響.
假設種羣1和2生活在一個穩定的環境中,即其固有增長率與時間無關.
資源有限的生存環境對種羣的繁衍,生長有抑制作用,而且這一作用與種羣的數量成正比.
符號說明
種羣在時刻的數量
種羣的固有增長率
種羣單獨存在時的最大容量
模型建立
設種羣1可以獨立存在, 按Logistic規律增長. 種羣2爲種羣1提供食物, 有利於種羣1的增長, 於是種羣1的增長規律可以表述爲:
參數 , 表徵種羣2對種羣1的增長的`促進作用.
同樣透過修改Logistic模型, 引入參數表徵種羣1對種羣2增長的促進作用, 種羣2的增長規律可以表述爲:
與式一起構成相互依存下的數學模型:
模型求解
容易求得方程的平衡點爲:
, , ,
將式化爲一階近似線性系統:
判斷各平衡點的穩定性:
: , ,
特徵方程爲, 兩特徵根同號且都大於0, 固不是穩定點.
: 易求得特徵根爲: ,
兩特徵根異號, 故不是穩定點.
: 兩特徵根爲: , 異號, 固其不是穩定點.
:
令, 要使此平衡點有意義, 需滿足條件, 當滿足時, A的特徵方程爲:
易求得以上方程
且其兩根 ,
.
是穩定點(在條件下)
模型求解
求得模型有一個穩定點 ,
當時, 爲, 這時實際上是隻有種羣1爲種羣2提供食物, 促進其生長, 而種羣2對種羣1則沒有促進作用.
顯然此時種羣1的極大容量與其單獨存在時一樣爲.
而由於種羣1對種羣2的增長的促進作用, 種羣2的極大容量將增長爲 .
同理當時, 模型意義與此相同.
當時, 爲, 即種羣1和種羣2相互之間沒有促進作用, 此時相當於種羣1和2獨立生存, 各自達到其最大容量和.
當和都不爲0時, 爲 ,
, , 即由於相互對對方增長的促進作用, 使兩種羣的最大容量都大於各自單獨存在時的容量.
令
則.
∴遞增, 即對於種羣1的極大容量, 它是隨着的增大而遞增的.
其實際意義也很明顯, 種羣2對種羣1增長的促進作用越大, 種羣1所能達到的最大數量就越大.
同樣, 對於種羣2來說, 種羣1的促進作用也有類似的效果, 這是符合實際的.
要使穩定點有意義, 必須滿足條件: , 這表明在這個模型中, 不會存在種羣1對種羣2和種羣2對種羣1的促進作用都很大的情況.
參考文獻
<<數學建模的理論與實踐>> 吳翊 吳孟達 成禮智 國防科技大學出版社