篇一：矩陣三角分解的探討
在近代數學、工程技術、經濟理論管理科學中，大量涉及矩陣理論的知識，很多問題都可以歸結爲矩陣並最終透過矩陣來解決。經查閱發現，目前關於矩陣三角分解的應用研究不少，但對三角分解缺乏系統的研究。
矩陣三角分解法是指高斯消去法解線性方程組的變形解法。其實質就是將係數矩陣A分解爲兩個三角形矩陣L和U相乘，即A=LU。
一、矩陣的直接三角分解
矩陣的直角三角分解即可以不經過消元步驟，直接將矩陣進行分解。
定義1 設A∈Rn×n，若A能分解爲一個下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU，則稱這種分解爲矩陣A的.三角分解。
（1）如果A可分解爲A=LDU，其中L是單位下三角矩陣，D是對角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱A可作LDU分解；
（2）如果在A=LU中，L是單位下三角矩陣，U爲上三角矩陣，則稱此三角分解爲杜利特（Doolittle）分解；
（3）如果在A=LU中，L是下三角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱此三角矩陣爲克勞特（Crout）分解。
定理1 n階方陣A非奇異的充要條件爲（或A經行、列變換後）存在LDU分解。其中L爲n階單位下三角矩陣，D爲n階非奇異對角陣，U爲n階單位上三角矩陣。
推論1 奇異矩陣不能進行LDU分解。
推論2 若矩陣A有奇異主子矩陣，則A不能直接進行LDU分解。
篇二：矩陣三角分解
第2章 線性代數方程組數值解法I：直接法
1. 矩陣
事實上，順序Gauss消去過程對應一個矩陣的三角分解，即對Axb的順序Gauss消去過程的結果，把矩陣A分解成兩個三角矩陣L與U的乘積：ALU 下面來證實這一點.依次取第 k步消元的乘法
(k)(k)
likaik (ik1,k2,,n) /akk
(k1)(k)(k) 則直接驗證可知,第k步消元(aij)的結果等價於對Ak左乘Lk: aijlikakj
A(k1)LkA(k)
於是 ,經過n1步消元,應有
u11 u12 u13
u22 u23Ln1L2L1AU U (2.3.1) u33
這裏U爲上三角矩陣，另外，又容易直接驗證Lk有下列兩個基本性質：
(1) Lk的逆陣存在，且有
1
11
1l Lk1,kk(2.3.2)
1lnk
1
(2) 逆陣Lk的乘積
1
1l21111
L1L2Ln1= =L（單位下三角矩陣）（2.3.3）
1ln1ln1
111
從而對(2.3.1)式兩端依次左乘Ln1,L2,Lk可得 111
U=LU AL1L2Ln1
L就是(2.3.3)式所示的單位下三角矩陣。這就是矩陣的三角分解或稱LU
分解。
ALU稱爲A的doolittle分解
ALULDU=LU 稱爲A的克勞特分解
ALDU 稱爲 A的LDU分解
對於於有選主元和換行步驟的Gauss消去過程，也可證明它對應於“A左乘排列矩陣P的LU分解”，即有PA=LU。 例 2.3.1 用直接三角分解法解方程組（2.1節中的實例）
2 3 2x10
1 x 12 2243 1 7x3
解 把解法分爲3個步驟：
①令A=LU，用Doolittle分解，即令
u11 u12 u13 2 3 21
12 2 l lu u212223
41u33 3 1 l31 l32
考慮A的第1行，對比右邊兩矩陣的乘積，有
21u11u112
31u12u123 21uu2
1313
此結果即U的第1行與A的第1行全同，這對一般情形也是適用的，因此，在分解計算中，此結果也可直接寫出。接着，再依次考慮A的第1列、第2行、第3列(除去已考慮過的元素)，作同樣比較有
l211/21l21u11
3lu l3/2311131
2l21u12 1u22 u221/2
2l21u13 1u23 l233
1l31u12l32u22 l327
4l31u13l32u231u33 u3328
12 3 2
1/2 11/23 即得A
128 3/2 7
②用前推過程解下三角方程組
1y10y10
1/2 y 1得 y 1 122
1 3/2 7 714y3y3
③用回代過程解上三角方程組
x12 3 2 x10 2
x 1得 x 1 1/2322
28 141/2x3x3
下面以不包括選主元和換行的Doolittle分解爲例，給出解n階方程組Axb的一般計算公式及整個求解過程（分3個步驟） ①令ALU，即令
a1n 1 u1na11 a12 u11 u12
a a l1 au u2121222n222n
l l 1a a aun1n1n2nnnnn1
利用矩陣乘法規則,並對比等式兩邊對應元素,由A的第1行得
a1j1u1j (j1，2， ，n)a1ju1j (j1，2， ，n)
(2.3.5)
由A的第1列（除第1行元素外）得
ak1lk1u11 (k2，3， ，n)lk1ak1/u11 (k2，3， ，n)
(2.3.6)
依此類推，由A的第k列（1kn）（除前k1列元素外）得
akjlkrurjukj
r1
k1
ukjakjlkrurj (jk，，1，，n)
r1
k1
(2.3.7)
由A的第k列（1kn）（除前k列元素外）得
aiklirurklikukk
r1k1
lik(aiklirurk)/ukk (ik1，，n)
r1
k1
(2.3.8)
②求解下三角方程組Lyb得
y1b1
i1
3，，n)yibiliryr(i2，
r1
③求解上三角方程組Uxy得
xnyn/unn
n
，2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1，
ri1
這就是用直接三角分解法求解方程組的公式，其中第①步中的前兩個公式也可合併入後兩個公式；第②，③步中的前一公式也可併入後一公式，這時當公式中出現和
r10
rn1
n
時均不執行計算，作零處理
（在列主元Gauss消去法一節中已提過這個附註）。
n3
可以推出，Doolittle算法的乘除法次數大致爲，與Gauss消3
去法大致相同，故就計算量而言，採用Doolittle算法解方程組並無特別優勢（因爲我們已擁有相當高效的列主元Gauss消去法）。應用中，主要藉助直接三角分解法的處理方法來處理具有特殊情況的方程組。這就是下一節要介紹的解三角方程組的追趕法和解對稱正定方程組的平方根法。