在平日的學習中，是不是聽到知識點，就立刻清醒了？知識點是指某個模組知識的重點、核心內容、關鍵部分。爲了幫助大家更高效的學習，下面是小編收集整理的高中不等式知識點總結，希望能夠幫助到大家。
一、 知識點
1.不等式性質
比較大小方法：
(1)作差比較法
(2)作商比較法
不等式的基本性質
①對稱性：a > bb > a
②傳遞性: a > b, b > ca > c
③可加性: a > b a + c > b + c
④可積性: a > b, c > 0ac > bc;
a > b, c < 0ac < bc;
⑤加法法則: a > b, c > d a + c > b + d
⑥乘法法則：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd
⑦乘方法則：a > b > 0, an > bn (n∈N)
⑧開方法則：a > b > 0,
2.算術平均數與幾何平均數定理：
(1)如果a、b∈R,那麼a2 + b2 ≥2ab(當且僅當a=b時等號)
(2)如果a、b∈R+,那麼(當且僅當a=b時等號)推廣：如果爲實數，則
重要結論
1)如果積xy是定值P，那麼當x=y時，和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S，那麼當x=y時，和xy有最大值S2/4。
3.證明不等式的常用方法：
比較法：比較法是最基本、最重要的方法。當不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較法;當不等式的兩邊都是正數且它們的商能與1比較大小，則選擇作商比較法;碰到絕對值或根式，我們還可以考慮作平方差。
綜合法：從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式的性質推匯出欲證的不等式。綜合法的放縮經常用到均值不等式。
分析法：不等式兩邊的聯繫不夠清楚，透過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉化，直到尋找到易證或已知成立的結論。
4.不等式的解法
(1) 不等式的有關概念
同解不等式：兩個不等式如果解集相同，那麼這兩個不等式叫做同解不等式。
同解變形：一個不等式變形爲另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式，那麼這種變形叫做同解變形。
提問：請說出我們以前解不等式中常用到的同解變形
去分母、去括號、移項、合併同類項
(2) 不等式ax > b的解法
①當a>0時不等式的解集是{x|x>b/a};
②當a<0時不等式的解集是{x|x
③當a=0時,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。
(3) 一元二次不等式與一元二次方程、二次函數之間的關係
(4)絕對值不等式
|x|0)的解集是{x|-a
o o
-a 0 a
|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，幾何表示爲：
o o
-a 0 a
小結：解絕對值不等式的關鍵是-去絕對值符號(整體思想，分類討論)轉化爲不含絕對值的不等式，通常有下列三種解題思路：
(1)定義法：利用絕對值的意義，透過分類討論的方法去掉絕對值符號;
(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a
(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)幾何意義。
(5)分式不等式的解法
(6)一元高次不等式的解法
數軸標根法
把不等式化爲f(x)>0(或<0)的形式(首項係數化爲正)，然後分解因式，再把根按照從小到大的順序在數軸上標出來，從右邊入手畫線，最後根據曲線寫出不等式的解。
(7)含有絕對值的不等式
定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
|a| - |b|≤|a+b|
中當b=0或|a|>|b|且ab<0等號成立
|a+b|≤|a| + |b|
中當且僅當ab≥0等號成立
推論1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|
推廣：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|
推論2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|
二、常見題型專題總結：
專題一：利用不等式性質，判斷其它不等式是否成立
1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是( C )
A、若a>b，則|a|>|b| B、若a>b，則1/a<1/b
C、若a>b，則a3>b3 D、若a>b，則a/b>1
2、已知a<0.-1
A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a
C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a
3、當0
A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b
C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b
4、若loga3>logb3>0，則a、b的關係是( B )
A、0a>1
C、0
5、若a>b>0，則下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是( A )
A、①②③④ B、①②③ C、①② D、③④
(二)比較大小
1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則( A )
A、ab C、ab<1 ab="">2
2、a、b爲不等的正數，n∈N，則(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符號是( C )
A、恆正 B、恆負
C、與a、b的大小有關 D、與n是奇數或偶數有關
3、設1lg2x>lg(lgx)
4、設a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。
分析：要比較大小的式子較多，爲避免盲目性，可先取特殊值估測各式大小關係，然後用比較法(作差)即可。
(三)利用不等式性質判斷P是Q的充分條件和必要條件
1、設x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關係
⑴命題甲：x>0且y>0， 命題乙：x+y>0且xy>0 充要條件
⑵命題甲：x>2且y>2， 命題乙：x+y>4且xy>4 充分不必要條件
2、已知四個命題，其中a、b∈R
①a2
3、"a+b>2c"的一個充分條件是( C )
A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c D、a>c且b
(四)範圍問題
1、設60
2、若二次函數y=f(x)的圖象過原點，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的範圍。
(五)均值不等式變形問題
1、當a、b∈R時,下列不等式不正確的是( D )
A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab
C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)
2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號不成立的是( A )
C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2
3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a21)(1/b21)的最小值爲( D )
A、6 B、7 C、8 D、9
4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9
5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：
(六)求函數最值
1、若x>4,函數
5、大、-6
2、設x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是( )D
A、10 B、 C、 D、
3、下列各式中最小值等於2的是( )D
A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x
4、已知實數a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。
5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。
(七)實際問題
1、98(高考)如圖，爲處理含有某種雜質的污水，要製造一個底寬爲2cm的無蓋長方體沉澱箱，污水從A孔流入，經沉澱後從B孔流出，設箱體的長度爲am，高度爲bm，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比，現有制箱材料60m2，問當a、b各爲多少米時，沉澱後流出的水中該雜質的質量分數最小(A、B孔的面積忽略不計)。
解一：設流出的水中雜質的質量分數爲y，
由題意y=k/ab，其中k爲比例係數(k>0)
據題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)
由a>0,b>0可得0
令t=2+a，則a=t-2從而當且僅當t=64/t，即t=8,a=6時等號成立。∴y=k/ab≥k/18
當a=6時,b=3，
綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉澱後流出的水中該雜質的質量分數最小。
解二：設流出的水中雜質的質量分數爲y，由題意y=k/ab，其中k爲比例係數(k>0)
要求y的最小值，即要求ab的最大值。
據題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30
即a=6,b=3時，ab有最大值，從而y取最小值。
綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉澱後流出的水中該雜質的質量分數最小。
2、某工廠有舊牆一面長14米,現準備利用這面舊牆建造平面圖形爲矩形，面積爲126 米2的廠房，工程條件是：①建1米新牆的費用爲a元;②修1米舊牆的費用爲a/4元;③拆去1米舊牆用所得材料建1米新牆的費用爲a/2元.經過討論有兩種方案：⑴利用舊牆的一段x(x<14)米爲矩形廠房的一面邊長;⑵矩形廠房的一面長爲x(x≥14).問如何利用舊牆，即x爲多少米時，建牆費用最省?⑴⑵兩種方案哪種方案最好?
解：設總費用爲y元，利用舊牆的一面矩形邊長爲x米，則另一邊長爲126/x米。
⑴若利用舊牆的一段x米(x<14)爲矩形的一面邊長，則修舊牆的.費用爲x?a/4元，剩餘的舊牆拆得的材料建新牆的費用爲(14-x)?a/2元，其餘的建新牆的費用爲(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用 當且僅當x=12時等號成立，∴x=12時ymin=7a(6-1)=35a。
⑵若利用舊牆的一段x米(x≥14)爲矩形的一面邊長，則修舊牆的費用爲x?a/4元，建新牆的費用爲(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用
設f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，則f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)
=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)
∴x=14時ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a
綜上所述，採用方案⑴，即利用舊牆12米爲矩形的一面邊長，建牆費用最省。
(八)比較法證明不等式
1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm
變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b2
2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對任意實數p、q恆有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)
(九)綜合法證明不等式
1、已知a、b、c爲不全相等的正數，求證：
2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3
3、已知a、b、c爲不全相等的正數，且abc=1,求證：
4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：
(十)分析法證明不等式
1、已知a、b、c爲不全相等的正數，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c
2、已知函數f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：
3、設實數x,y滿足y+x2=0,0
(十一)反證法、放縮法、構造法、判別式法、換元法等證明不等式
1、設f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小於1/2。
2、若x2+y2≤1,求證|x2+2xy-y2|≤.
3、已知a>b>c,求證：
4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求證：.
5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，並指出等號何時成立。
分析：整理成關於a的二次函數f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2
∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0
∴f(a)≥0
6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求證：1/3≤y/x≤3
7、在直角三角形ABC中，角C爲直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn
(十二)解不等式
1、解不等式：
2、解關於x的不等式：
拓展
高中數學不等式的基本性質知識點
1.不等式的定義：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a
① 其實質是運用實數運算來定義兩個實數的大小關係。它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據。
②可以結合函數單調性的證明這個熟悉的知識背景，來認識作差法比大小的理論基礎是不等式的性質。
作差後，爲判斷差的符號，需要分解因式，以便使用實數運算的符號法則。
2.不等式的性質：
① 不等式的性質可分爲不等式基本性質和不等式運算性質兩部分。
不等式基本性質有：
(1) abb
(2) acac (傳遞性)
(3) ab+c (cR)
(4) c0時，abc
c0時，abac
運算性質有：
(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0isin;N, n1)。
應注意，上述性質中，條件與結論的邏輯關係有兩種：“”和“”即推出關係和等價關係。一般地，證明不等式就是從條件出發施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應用不等式性質。
② 關於不等式的性質的考察，主要有以下三類問題：
(1)根據給定的不等式條件，利用不等式的性質，判斷不等式能否成立。
(2)利用不等式的性質及實數的性質，函數性質，判斷實數值的大小。