目 錄
中文摘要 1
前言 1
1 非線性電路中的混沌現象原理 2
1.1 非線性電路中的混沌及其特徵 2
1.2 非線性電路中的混沌產生的機理和條件 3
2 非線性電路的分析與仿真算法 4
2.1 非線性元件的分段線性化法 4
2.2 非線性電路的仿真算法 4
3 非線性電路模型分析與仿真 4
3.1 3階蔡氏電路 4
3.1.1 蔡氏電路的電路模型 5
3.1.2 蔡氏電路的MATLAB仿真 7
3.2 3階變形蔡氏電路 10
3.2.1 變形蔡氏電路的電路模型 10
3.2.2 變形蔡氏電路的MATLAB仿真 13
3.3.3 仿真結果 15
4 非線性電路通向混沌的道路 18
結論 18
參考文獻 19
英文摘要 19
致謝 20
基於MATLAB的非線性電路模型分析與仿真
摘要：近20年來，由於計算機技術的高度發展，使得對於混沌的研究成爲當今科學研究的前沿，並發展成1門新興的學科。本文從理論分析與仿真兩個角度分別研究非線性電路中的混沌現象。簡要介紹了混沌及其特徵，混沌產生的機理和條件，以及非線性電路分析仿真的算法。在分析與仿真蔡氏電路的基礎上，構造1個變形蔡氏電路模型，對其電路的非線性元件利用分段線性化方法處理，接着利用非線性電路模型的仿真算法──4階龍格-庫塔算法，並用MATLAB編程語言對該非線性微分方程進行分析與仿真該變形蔡氏電路通向混沌的道路。結果表明該變形蔡氏電路也和蔡氏電路1樣，在不同的參數下存在有豐富的分岔和混沌現象，並在特定參數下存在所謂的“雙渦卷”混沌吸引子。
關鍵字：混沌；4階龍格-庫塔算法；非線性電路模型；MATLAB仿真分析。
Analysis and Simulation by MATLAB in Nonlinear
Circuit Model
Abstract: In recent 20 years, because of the development of computer technology, chaos research has become the advanced positions of science research, and chaos has been a new academic subject. The chaos phenomenon in nonlinear circuit is studied by MATLAB simulation and theoretical analysis in the paper. This paper introduces simply chaos and its characteristic, the chaos output mechanism and condition, and the calculable method of analytic simulation of nonlinear circuit. In the foundation of the analysis and simulation of Chua’s circuit, a modified Chua’s circuit model is constructed. Its nonlinear component is processed using the way of the segment lining. Then the simulated calculable method of fourth rank Rounge-kutta and the language of MATLAB are used to analyze the nonlinear differential equation and to simulate the way of this modified Chua’s circuit to the chaos. The result is that the modified Chua’s circuit exists abundantly bifurcation and chaos phenomenon under the different parameter, and exists so-called" double scroll" chaos attractor under the particular parameter as soon as Chua’s one.
Key words: Chaos; Calculable way of fourth rank Rounge-kutta; Nonlinear circuit model; Analysis of MATLAB simulation.
前言
非線性是自然界中普遍存在的自然現象，正視非線性現象才構成了變化莫測的世界。長期以來，人們在認識和描述運動時，大多隻侷限於線性動力學描述運動，即確定的運動有1個完美確定的解析解。但是自然界在相當多的情況下，非線性現象卻起着很大的作用。1963年美國氣象學家Lorenz在分析天氣預報模型時，首先發現空氣動力學的混沌現象，該現象只能用非線性動力學來解釋。於是，1975年混沌作爲1個新的科學名詞首先出現在科學文獻中。從此非線性動力學迅速發展，併成爲有豐富內容的研究領域。該學科涉及非常廣泛的科學範圍，從電子學到物理學，從氣象學到生態學，從數學到經濟學等。混沌通常相應於不規則和非週期性，這是由非線性系統產生的。
絕大多數的電子電路與系統本身是非線性的，但電子工程師仍然把更多的注意力投入到線性的現象和模型研究與應用中，雖然解決了實際中的1些工程問題，但這是以忽略非線性因素爲代價的，或者僅僅考慮了弱非線性。對線性模型的進1步研究，可以發現僅考慮線性特性有很大的侷限性，尤其它將阻礙對非線性系統特性的研究，而這種非線性系統的複雜性在資訊的傳輸、編碼、存儲、安全等方面具有很大的優勢。今天，世界各國有關研究非線性的組織已經意識到開發非線性動力系統的潛力，歐洲、美國、日本的科學家們也正進行1些相關非線性的意義重大的項目研究。
非線性電路中混沌現象的發現也是出於偶然。1927年，範德坡（Van Der Pol）無意中聽到氖燈中張弛振盪器的“1種不規則的噪聲”，他當時沒有認識到這就是混沌現象，反而稱之爲“次要的險象”。1978年日本京都大學上田宗亮（Yoshisuke Ueda）對非線性電感加上正弦電壓的電路做仿真實驗，發現以杜芬（Duffing）方程描述的非線性電路中有7/3階超次諧波振盪和隨機轉變過程。1980年上田和赤松（N. Akamatsu）對負阻元件與電容並聯後透過電阻電感加上正弦電壓的電路做仿真實驗，發現以範德坡方程描述的`非線性電路中的奇異吸引子和擬週期振盪。1981年麻省理工學院林塞（P. S. Linsay）對變容2極管透過電阻電感加上正弦電壓的電路作實驗，證實了費根包姆關於週期倍增導致混沌的預言，並驗證了費根包姆數。這是分叉與混沌的第1個實驗。雖然人們對非線性電路實驗研究了數10年，但這還是首次發現這樣的分頻和混沌現象。1983年美國加州大學伯克利分校的蔡少棠（L. O. Chua）教授設計了1個能夠產生複雜混沌現象的最簡單的3階自治電路──蔡氏電路（Chuas circuit），該電路分別被計算機數值模擬和實際電路中首次觀察到的混沌現象所確認，並給出了嚴格的數學證明。[1]因爲蔡氏電路能夠展現出最豐富的混沌動力學特性，它成了人們研究混沌機理的範例，[2][3][4][5]而且在它的基礎上，不斷有人提出新的混沌電路實現方案，[6]爲混沌的實際應用打下了基礎。[7][8] 1990年，混沌控制方法和混沌同步思想的先後提出，拉開了利用混沌的序幕。隨混沌控制方法和同步技術的發展，大大推進了混沌在保密通信、密碼學、自動控制、人工智能、信號分析和處理等方面的應用。
“簡單電路是否產生混沌現象”是混沌工程學極富挑戰性的課題之1。混沌學與工程領域相互結合，產生了各種新穎的理論與技術。例如：混沌計算機圖形學、混沌生物工程學、混沌圖象處理技術、混沌控制理論、混沌噪聲理論、計算機非線性分析理論與技術（下1代人工智能）等。混沌的研究對現代科技已經和正在發揮巨大而廣泛的作用，涉及到電子、資訊、控制等諸多應用領域，電路中混沌的研究和討論無疑是非常有意義的工作。
非線性電路涉及到非線性微分方程，除少數情況外，非線性微分方程1般都無精確的解析解，因此，常用計算機進行模擬，觀察解的表現，以判斷是否存在混沌現象。本文在對3階蔡氏電路的分析和MATLAB仿真的基礎上，構造1個以非線性荷控電容爲核心，與“蔡氏電路”具有相同的元件個數、同樣緊湊結構的3階變形蔡氏電路。採用分段線性化方法和4階龍格-庫塔算法，用MATLAB進行分析與仿真其通向混沌的道路。
