“等時圓”模型的基本規律及應用
（此文章已發表於《考試》雜誌）
前段時間在網上發了一個帖子“等時圓規律有哪些應用”，居然有同志認爲是“等勢圓”吧。而在物理教學中，藉助各種模型，把抽象問題具體化，把複雜問題簡單化，能使得物理問題便於理解和接受。基於此我對“等時圓”規律和應用闡述如下：
一、何謂“等時圓”
如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內三根固定的光滑細杆，a、b、c、d位於同一圓周上，a點爲圓周的最高點，d點爲最低點。每根杆上都套有一個小滑環（圖中未畫出），三個滑環分別從a、b、c處釋放（初速爲0），用t1、t2、t3依次表示各滑環到達d所用的時間，則（ ）
A.t1<t2<t3 B.t1>t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3
解析：選任一杆上的環爲研究對象，受力分析並建立座標如圖所示，設圓半徑爲R，由牛頓第二定律得，
①
再由幾何關係，細杆長度 ②
設下滑時間爲，則 ③
由以上三式得， 可見下滑時間與細杆傾角無關，所以D正確。由此題我們可以得出一個結論。
結論：物體沿着位於同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達圓周最低點的時間相等。
推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細杆到圓周上各點所用的時間相等。
象這樣的豎直圓我們簡稱爲“等時圓”。關於它在解題中的應用，我們看下面的例子：
二、“等時圓”的`應用
可直接觀察出的“等時圓”
例1：如圖3，透過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那麼在同一時刻這些小物體所在位置所構成的面是（ ）
A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定
解析：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應在同一“等時圓”上，所以A正確。
例2：如圖4，位於豎直平面內的固定光滑圓軌道與水平面相切於M點，與豎直牆相切於點A，豎直牆上另一點B與M的連線和水平面的夾角爲600，C是圓環軌道的圓心，D是圓環上與M靠得很近的一點（DM遠小於CM）。已知在同一時刻：a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M點；c球由C點自由下落到M點；d球從D點靜止出發沿圓環運動到M點。則：（ ）
A、a球最先到達M點 B、b球最先到達M點
C、c球最先到達M點 D、d球最先到達M點
解析：設圓軌道半徑爲R，據“等時圓”理論，ta==2 ， tb> ta ；c做自由落體運動tc= ；而d球滾下是一個單擺模型，擺長爲R，td== ，所以C正確。
2、運用等效、類比自建“等時圓”
例3：如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距爲h，B點離地高度爲H，現在要在地面上尋找一點P，使得從A、B兩點分別向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點的時間相等，求O、P兩點之間的距離。
解析：由“等時圓”特徵可知，當A、B處於等時圓周上，且P點處於等時圓的最低點時，即能滿足題設要求。
如圖6所示，此時等時圓的半徑爲：
所以
例4：如圖7， AB是一傾角爲θ的輸送帶，P處爲原料輸入口，爲避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應爲多大？
解析：藉助“等時圓”，可以過P點的豎直線爲半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C爲切點，O爲圓心。顯然，沿着PC弦建立管道，原料從P處到達C點處的時間與沿其他弦到達“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達輸送帶上所用時間最短，需沿着PC建立管道。由幾何關係可得：PC與豎直方向間的夾角等於θ/ 2。
三、“形似質異”問題的區分
1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數均爲μ，小滑環分別從a、b、c處釋放（初速爲0）到達圓環底部的時間還等不等？
解析：bd的長爲2Rcosθ，bd面上物體下滑的加速度爲a=gcosθ-μgsinθ，tbd==2。可見t與θ有關。
2、如圖9，圓柱體的倉庫內有三塊長度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定於底部圓心O，而上端則擱在倉庫側壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次爲300、450、600。若有三個小孩同時從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則 （ ）
A、a處小孩最先到O點 B、b處小孩最先到O點
C、c處小孩最先到O點 D、a、c處小孩同時到O點
解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時間不一定相等。設圓柱底面半徑爲R，則=gsinθt2，t2=，當θ=450時，t最小，當θ=300和600時，sin2θ的值相等。